QUERIDOS PARTICIPANTES DE LAS SECCIONES I-003-D Y I-001-D DE AULA 12 DE LA CARRERA ADMINISTRACION DE DESASTRE DE UNEFAI; UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZAS ARMADA-ISAELICA DEL EDO CARABOBO. VENEZUELA. SUR AMERICA. PERIODO (2-2008). EN ESTE CASO CORRESPONDE A LA SEMANA 8 DE LA UNIDAD II CORRESPONDIENTE A LA TEORIA DE LAS PROBABILIDADES DONDE EL PARTICIPANTE INVESTIGARAN SOBRE RESENA HISTORICA DE LA TEORIA DE LAS PROBABILDADES, COMO TAMBIEN SOBRE LA TEORIA DE CONJUNTO, AXIOMAS DE LA TEORIA DE LAS PROBABILIDADES, DEFINICION DE PROBABILIDAD, EVENTOS, TIPOS DE EVENTOS, ESPACIO MUESTRAL, SUBESPACIO MUESTRAL, EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES, PROBABILIDAD CONDICIONAL, TEOREMA DE BAYES, INDEPENDENCIA ESTADISTICA, REGLAS DE CONTEO( SUMA , MULTIPLICACION, PERMUTACION, VARIACION Y COMBINACION), TABLA DE CONTIGENCIAS, DIAGRAMA DE ARBOL, CUADRO DE LA ESTRUCTURA DE TEORIA DE LAS PROBABILIDADES.
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Para resolver algunos problemas de
probabilidades es necesario conocer el numero de elementos que posee cierto
conjunto y el
conjunto universal, denominado,
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Probabilidades Como Conjuntos. 1) E : espacio muestral o
conjunto de todos los resultados posibles. 2) A B : al menos uno de los eventos A ó B ocurre.
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Asociado a un experimento aleatorio es el
conjunto de todos los resultados que se pueden
... El paso siguiente es asignar (distribuir)
probabilidades.
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Teoria Elemental Probabilidad. Las
probabilidades son muy útiles, ya que pueden
... Definición 2 Espacio muestral: es el
conjunto de todos lo s resultados
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Conjuntos vs. Eventos. Teoría Conjuntos Teoría
Probabilidades. S W Universo Espacio Muestral. Á
Conjunto Potencia Familia Clases de Eventos
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1.1
Teoría de conjuntos. 1.2 Espacio probabilístico. 1.3
Probabilidad condicional y eventos independientes. 1.4 Ensayos de Bernoulli.
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mate.cucei.udg.mx/depto/materias/MT253_TEORIA_DE_PROBABILIDAD.html - 6k - En caché - Páginas similares
Buenas noche profesor es la alumna vanessa romero de la seccion 001 de dasastre semestre 2 me parece muy interesante el material y tambien mucho material a estudiar en lo que a mi me compete are un resumen de lo que entiendo para entregarcelo la proxima clase que tenga una feliz noche.
A nte todo mi cordial saludo pofesor soy de seccion 001 administracion de dsastre
Era para recordarle la nota del primer corte que usted me la iba a comodar y un trabajo que no me ha entregado.
gracias por su colaboracion.
buenos dias profesor y gracias por el material que nos dio esta muy bueno.daniel ruiz seccion 001 de adm. de desastre
hola profe buenas tardes ta revise el material me parecio muy interesante lo guarde y lo imprimi para podesr estudiar mejor de verad gracias en la proxima clase le llevo los dos ejercicios que tengo pendiente con usted soy de la seccion 001 de administracion de desastres
seccion 001 buenas noche porfesor gracias por la informacion estare al tanto que paces buena noche...
buenos dias profe estamos aqui revisando el material de las teorias y conjuntos de probabilidad ! chao
Buenas tardes profe le mando muchos saludos. rebice la información, sobre las probabilidades, espero rebisarla primero para despues mandarle mi opinion sobre el tema, que esté muy bien gracias......
La probabilidad como teoría es sumamente nueva el hombre a tenido la necesidad de medir la continuidad de ciertos evento mediante datos que son regulare y se repiten pero muchas veces presentan variaciones Muchos que estudiaron esta rama le dieron características matemáticas tales como póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre y otro le dieron un tratamiento científico Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens después en el año 1755 Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó por primera vez la teoría para la discusión de errores de observación. La reimpresión (1757) de esta memoria expone los axiomas de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y que hay ciertos límites asignables dentro de los cuales se supone que caen todos los errores; se discuten los errores continuos y se da una curva de la probabilidad. Pierre-Simon Laplace (1774) hizo el primer intento para deducir una regla para la combinación de observaciones a partir de los principios de la teoría de las probabilidades. Representó la ley de la probabilidad de error con una curva y = φ(x), siendo x cualquier error e y su probabilidad El método de mínimos cuadrados se debe a Adrien-Marie Legendre (1805), que lo introdujo en su Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Nuevos métodos para la determinación de las órbitas de los cometas). Ignorando la contribución de Legendre, un escritor irlandés estadounidense, Robert Adrain, editor de "The Analyst" (1808), dedujo por primera vez la ley de facilidad de error, siendo c y h constantes que dependen de la precisión de la observación. Expuso dos demostraciones, siendo la segunda esencialmente la misma de John Herschel (1850). Gauss expuso la primera demostración que parece que se conoció en Europa (la tercera después de la de Adrain) en 1809. Demostraciones adicionales se expusieron por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856) y Morgan Crofton (1870). Otros personajes que contribuyeron fueron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters (1856) para r, el error probable de una única observación, es bien conocida.En el siglo XIX, los autores de la teoría general incluían a Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoraron la exposición de la teoría.
La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables
Evento se le llama evento a todo subconjunto de un espacio maestral por ejemplo E=(1, 2, 3, 4, 5, 6,) del lanzamiento de un dado los siguiente son evento obtener el numero primo A=(2,3,5)
Obtener el numero primo y par B=(2)
Obtener el numero mayor o igual a 5c=(5,6)
espacio muestral son el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Se suele representar por Ω.
• Tipo de eventos
evento elemental es un subconjunto .
• Un evento compuesto es un subconjunto .
• Los eventos triviales son el conjunto universal Ω y el conjunto vacío. Al primero se le llama también evento seguro, y al segundo, evento imposible.
• Sean dos eventos A y B, si ambos son conjuntos disjuntos, entonces ellos son eventos excluyentes.
• Un evento con elementos infinitos pero numerables se llama σ-álgebra (sigma-álgebra), y un evento con elementos finitos se llama álgebra de sucesos de Boole.
• El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
• Sea {A1,A2,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:
•
•
independencia estadística cuando ambos sucesos no están correlacionados
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo
Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico?
N
Solución: A
A B
N
B A
B
M AB N
A
O B
A
N
F B A
B
AB
B
O A
B
La axiomática de Kolmogorov (1933) viene dada por los siguientes tres axiomas:
Axioma 1: A todo suceso A le corresponde un único número no negativo, P(A), al que llamaremos probabilidad de A
Axioma 2: La probabilidad del suceso seguro es 1
Axioma 3: Sean A y B dos sucesos tales que la intersección entre ambos es 0. Entonces:
teoría de números fue una de las disciplinas de estudio favoritas entre los matemáticos griegos de Alejandría, Egipto a partir del siglo III a. C., quienes tenían conciencia del concepto de ecuación diofántica en sus casos particulares. El primer matemático helenístico que estudió estas ecuaciones fue Diofanto. Quien investigo las ecuaciones lineales ecuaciones diofantinas fueron estudiadas de manera intensiva por los matemáticos indúes medievales, quienes fueron los primeros en buscar sistemáticamente métodos para la determinación de soluciones enteras Brahmagupta trabaja en 628 las ecuaciones diofantinas más difíciles. Utiliza el método chakravala para resolver las ecuaciones diofantinas cuadráticas, incluyendo aquellas de la forma de la ecuación de Pell tal que . Su Brahma Sphuta Siddhanta fue traducido al árabe en 773 y al latín en 1126. La ecuación fue propuesta como un problema por el matemático francés Pierre de Fermat. La solución general de esta forma particular de la ecuación de Pell fue encontrada 70 años más tarde por Leonhard Euler, aunque la solución general de la ecuación de Pell fue encontrada 100 años más tarde por Joseph-Louis de Lagrange en 1767. Sin embargo, varios siglos antes, la ecuación de Pell fue trabajada por Bhaskara II en 1150 utilizando una versión modificada del método chakravala de Brahmagupta, encontrando la solución general de otras ecuaciones cuadráticas intermedias indeterminadas y ecuaciones diofánticas cuadráticas.
Lo que yo entiendo es que la probabilidad es una técnica que acompañada con la teoría de los numero intenta demostrar ciertos acontecimiento que tienen un patrón de correspondencia o similitudes que son calculables y hasta predecible por medio de cálculos pero para logra esto hay que seguir una serie de pasos ya ilustrados y de problemas siempre tomando en cuenta que hay factores que influyen alterando lo que podría ser posible así mismo esta técnica nos permitirá tomar decisiones basado en medidas expertas reduciendo los posibles riesgos
ENMARIETH LEON 18.884.333
I-003-D DESASTRES
HOLA PROF!! BUENAS NOCHES,
GRACIAS POR LA INFORMACION NOS SERA DE MUCHA AYUDA!
hola profe tome mi asistencia soy ruthdenys hurtado de la seccion 001 de administracion de destres no entiendo muy bien lo que hay que hacer yo revise el material que nos dejo y esta muy interesante de hecho lo imprimi pero no se si tengo que dejarle un comentario sobre esto
RESEÑA HISTORICA DE LA PROBABILIDAD:
La probabilidad matemática tiene sus orígenes en los juegos de azar, principalmente los juegos con dados y cartas,
muy populares desde tiempos antiguos. Los primeros estudios “científicos” sobre fenómenos aleatorios se centraban
en dos problemas:
1. Contabilizar el número de posibles resultados de lanzar un dado varias veces.
2. Distribuir las ganancias entre jugadores cuando el juego se interrumpía antes de finalizar, conocido como el
‘problema del reparto de apuestas’.
Una respuesta al primer problema se puede encontrar en el poema De Vetula, de Richard de Fournival (1200–
1250), donde afirma correctamente que si se lanzan tres dados hay 216 combinaciones posibles y calcula correctamente
los diferentes valores para la suma de los tres dados. Aunque ahora puede parecer una cuestión trivial, en aquella época
no lo era, y otros autores erraron al intentar resolverla, generalmente porque no tenían en cuenta las posibles permutaciones
de una misma combinación.
El segundo problema fue abordado por Luca Pacioli (1445–1517), quien en 1487 propuso estos dos similares
problemas particulares: un juego en el que el premio es de 22 ducados que consiste en alcanzar 60 puntos se interrumpe
cuando un equipo lleva 50 puntos y el otro 30; y tres arqueros que compiten por un premio de 6 ducados lanzan flechas
hasta que uno de ellos haga 6 dianas, siendo interrumpidos cuando el primero de ellos lleva 4 dianas, el segundo 3 y el
tercero 2. ¿Cómo deben repartirse los premios entre los contendientes? Pacioli propuso que el premio debería ser repartido
en función de las victorias obtenidas anteriormente: así, el premio del primer problema se dividía en 60×5/8 ducados
para el primer equipo y en 60×3/8 para el segundo; para el problema de los arqueros, el premio se dividía en la proporción
4/9, 3/9 y 2/9. Como más tarde se pondría de manifiesto, esta solución es incorrecta.
GIROLAMO CARDANO Y NICCOLO TARTAGLIA
La primera obra importante relacionada con el cálculo de probabilidades en juegos de azar fue el Libro de los
Juegos de Azar, de Girolamo Cardano (1501–1576), escrito en 1565, aunque no publicado hasta 1663. Cardano era un
jugador empedernido y su obra es más bien un manual para jugadores; contiene descripciones de juegos y las precauciones
a tomar para que los rivales no hagan trampas, y sólo una pequeña parte está dedicada al estudio del azar: problemas
tales como calcular todos los resultados posibles al lanzar dos o tres dados y las frecuencias con que aparecían,
hallar la probabilidad de que al lanzar un dado una serie de veces salga un determinado número al menos una vez, o calcular
las frecuencias de los valores de la suma de las caras de una tirada de dos dados. En la resolución de estos problemas,
Cardano trabajó con los conceptos de la definición clásica de la probabilidad, aunque no los definió. En concreto,
Cardano introdujo la idea de asignar una probabilidad p entre 0 y 1 a un suceso cuyo resultado se desconoce, considerando
el número total de resultados y el número de resultados favorables, y esbozó de una forma rudimentaria lo que
ahora se conoce como la “ley de los grandes números”, al afirmar que si la probabilidad de una suceso es p, después de
un número n grande de repeticiones lo más razonable es apostar a que ocurrirá alrededor de np veces. Sin embargo,
Cardano no alcanzó a reconocer la importancia teórica de estos conceptos, ya que consideraba estas relaciones como
meramente aritméticas, más que como una medida de la posibilidad de ocurrencia de una suceso aleatorio.
Cardano se había ocupado previamente del problema del reparto de apuestas. En 1539 escribió que la solución
de Pacioli era incorrecta porque al considerar tan sólo el número de juegos ganados por cada equipo, no contaba cuántos
juegos debían ganar para hacerse con el premio; como solución propuso que si n es el número de juegos totales y a y b
—2—
los juegos ganados por cada equipo, el premio debía repartirse de la siguiente manera [1+2+…+(n-b)]: [1+2+…(n-a)].
Esta solución es, en general, incorrecta y sólo da resultados válidos en casos particulares. El problema del reparto de
apuestas también fue abordado por Niccolo Tartaglia (1499–1557), quien en 1556 publicó un libro sobre aritmética en
el que criticaba la solución dada por Pacioli («Si un bando ha ganado 10 puntos y el otro ninguno, entonces todo el
premio sería para el primer jugador, pero esto no tiene ningún sentido») y dio su propio solución: si un equipo ha ganado
a puntos y el otro b, se juega a n puntos y el premio total es P, las ganancias deberían repartirse de la forma
(P/2)±P[(a-b)/n], siendo la cantidad mayor para el equipo que tenga más victorias. Sin embargo, Tartaglia fue consciente
de que su solución no era la correcta y le dio un carácter más jurisdiccional que matemático.
GALILEO GALILEI
Galileo Galilei (1564–1642) también se dedicó a resolver problemas sobre dados. Su obra Sobre la Puntuación
en Tiradas de Dados calculaba el número de resultados posibles tirando tres dados. A pesar de que ya se sabía desde
mucho tiempo antes que hay 216 posibilidades diferentes, Galileo fue el primero que llegó a esta conclusión a través del
simple cálculo 216=6³. Luego atacaba el problema de calcular de cuántas maneras diferentes se puede lograr cada una
de las puntuaciones entre 3 y 18. Para hacer esto, Galileo numeró los dados —primero, segundo, tercero— y fue considerando
cada una de las combinaciones de los tres dados que sumaban una determinada cantidad, pero sólo entre 3 y 10.
Galileo encontró que sólo hay una manera de obtener tres puntuaciones iguales, tres maneras de obtener dos puntuaciones
iguales y otra diferente, y seis manera de obtener tres puntuaciones diferentes. Su conclusión fue que es preferible
apostar por el 10 antes que por el 9 porque el 10 se puede obtener de 27 maneras por 25 del 9. El resto de posibilidades
—de 11 a 18— se obtenían sin cálculos, directamente por simetría: 18 igual que 3, 17 igual que 4, etc. A pesar de la
simplicidad del problema, Galileo reconoció que quedó exhausto.
Sin embargo, la principal contribución de Galileo a la teoría de la probabilidad fue la creación de la teoría de la
medida de errores. Según Galileo, los errores de medida son inevitables y los clasificó en dos tipos: los errores ‘sistemáticos’,
debidos a los métodos y las herramientas de medida; y los errores ‘aleatorios’, que varían impredeciblemente
de una medida a otra. Esta clasificación sigue en vigor actualmente. Galileo fue muy cuidadoso al analizar las propiedades
de los errores aleatorios y estableció que son más frecuentes los errores pequeños que los grandes; que los errores
por defecto son tan frecuentes como los errores por exceso; y que la mayoría de las mediciones se agrupan alrededor del
verdadero valor. Con estas ideas, Galileo no sólo contribuyó al desarrollo de la teoría de la probabilidad, sino que puso
las bases para el nacimiento de la estadística.
BLAISE PASCAL Y PIERRE DE FERMAT
El desarrollo de la teoría de la probabilidad experimentó un gran avance en Francia a mediados del siglo XVII
con la correspondencia que mantuvieron Blaise Pascal (1623–1662) y Pierre de Fermat (1601-1665) durante 1654. Antoine
Gombaud, caballero de Méré, filósofo y literato que jugaba compulsivamente, pidió a Pascal que le resolviese el
problema del reparto de apuestas. Pascal y Fermat lo resolvieron correctamente por medios diferentes pero equivalentes,
aunque el desconocimiento de la teoría general les hizo pensar que no lo eran. El acierto de ambos consistió en darse
cuenta de que el reparto de las apuestas debe hacerse en función de la probabilidad de ganar que tuviese cada jugador en
el momento de interrumpirse el juego. Para hallar la solución correcta se valieron de una riguroso metodología desconocida
hasta entonces; sin embargo, Pascal falló en su intento de extender el procedimiento al caso en que hubiera tres o
más jugadores.
DEFINICIONES DE LA PROBABILIDADES :El primero en dar la
definición clásica de probabilidad fue Jakob Bernoulli (1654–1705) en su obra El Arte de Predecir –publicada póstumamente
en 1713—, muy influenciado por los trabajos de Graunt y Petty, que habían demostrado las ventajas de incluir
en sus tablas no sólo los números absolutos, sino también las proporciones respecto del total. Más adelante, el matemático
francés exiliado en Inglaterra Abraham De Moivre (1667–1754) aceptó la definición dada por Bernoulli y la reformuló
en términos modernos: «una fracción en la que el numerador es igual al número de apariciones del suceso y el denominador
es igual al número total de casos en los que es suceso pueda o no pueda ocurrir. Tal fracción expresa la probabilidad
de que ocurra el suceso». La definición clásica de la probabilidad, en su forma actual, está basada en el concepto
de equiprobabilidad de los resultados, basado a su vez en la simetría. Se supone que un experimento se puede
descomponer en n sucesos equiprobables y mutuamente excluyentes E1,…,En, llamados sucesos ‘elementales’. Así, la
probabilidad de suceso aleatorio A es el número del intervalo [0,1] que expresa el cociente entre los m sucesos elementales
que componen A y el número total n de posibles sucesos elementales. El principal escollo que encuentra esta in—
5—
terpretación de la probabilidad es la dificultad de descomponer un suceso en sucesos elementales equiprobables; siendo
fácil para problemas sencillos, como los de cartas, dados o urnas, es casi imposible para problemas más complejos.
Basándose en los trabajos de Graunt y Petty, Bernoulli resolvió incluso la cuestión de cómo hallar la probabilidad
de ocurrencia de un suceso aun siendo imposible contar los casos favorables: «Aquí hay otro camino disponible para
alcanzar el resultado deseado. Lo que no se puede hallar a priori se puede obtener a posteriori, es decir, mediante la
observación múltiple de los resultados de pruebas similares…» De esta manera, Bernoulli introdujo el concepto de probabilidad
‘frecuentista’ o ‘estadística’: asignar como probabilidad de un suceso el resultado que se obtendría si el proceso
se repitiera en condiciones similares un número grande de veces. Sin embargo, estas condiciones son demasiado vagas
para servir como base para una definición científica rigurosa. En primer lugar, se menciona un ‘número grande’ de
veces, pero no se da ninguna indicación sobre cuál es ese número lo suficientemente grande; no se describe con precisión
qué se entiende por condiciones similares —si las condiciones fuesen siempre exactamente las mismas se obtendría
siempre el mismo resultado—; tampoco se especifica cuál es la máxima desviación admitida respecto del resultado teórico;
además, sigue habiendo sucesos que no pueden plantearse suponiendo la posibilidad de repetirlos muchas veces.
TEOREMAS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Los tres teoremas básicos que hicieron posible el desarrollo de la probabilidad tal y como la conocemos hoy fueron
los teoremas de la suma, de la multiplicación y de la probabilidad total. Aunque ni Fermat ni Pascal no Huygens los
idearon, en sus escritos aparecen ya de una forma implícita y utilizados correctamente.
Teorema de la Suma.- Pascal dio a entender implícitamente que sabía cómo calcular los casos favorables de un
suceso A si conocía los casos favorables de unos Aj disjuntos cuya unión es A (es decir, si los Aj son una partición de
A). Jakob Bernoulli también fue consciente de ello, y fue más allá al darse cuenta de que la probabilidad de la unión no
es la suma de las probabilidades si los sucesos no son disjuntos, aunque no supo dar la razón. Previamente, Cardano había
expresado un resultado similar en términos de casos en vez de probabilidades. No fue ninguno de ellos quien formuló
finalmente el teorema de la suma de la probabilidades, sino el reverendo inglés Thomas Bayes (1702–1761), cuyo
trabajo fue leído póstumamente, en 1763. En esta obra, Bayes da la primera definición explícita de sucesos disjuntos —
él los llamó ‘inconsistentes’— y enunció la fórmula ahora conocida:
P{A∪ B}= P{A}+ P{B}− P{A∩ B}
Teorema de la Multiplicación.- Del mismo modo, el teorema de la multiplicación de probabilidades era conocido
por casi todos los estudiosos a través de cálculos particulares. Sin embargo, fue Abraham De Moivre (1667–1754) el
primero que los enunció con autoridad. En la introducción a su obra Doctrina de las Posibilidades de 1711, De Moivre
presentó el importante concepto de independencia de sucesos aleatorios; así, escribió: «Diremos que dos sucesos son
independientes, si uno de ellos no tiene ninguna relación con el otro» y procedió a definir los sucesos dependientes:
«Dos sucesos son dependientes si están ligados el uno al otro y la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos influye en
la probabilidad de ocurrencia del otro». Una vez hecho esto, De Moivre lo aplicó al cálculo de probabilidades: «la probabilidad
de ocurrencia de dos sucesos dependientes es igual a la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos dividida
por la probabilidad de que el otro ocurra si el primero ya ha ocurrido. Esta regla puede generalizarse para varios sucesos
». El caso de varios sucesos lo describía así: «Se necesita elegir uno de ellos como el primero, otro como el segundo,
y así. Luego, la ocurrencia del primero debe considerarse independiente de todas las demás; el segundo debe considerarse
con la condición de que el primero ha ocurrido: el tercero con la condición de que tanto el primero como el segundo
han ocurrido, y así. De aquí, la probabilidad de las ocurrencias de todos los sucesos es igual al producto de todas las
probabilidades». O en notación moderna:
P{A1 ∩ A2KAn}= P{A1}⋅ P{A2 | A1}⋅ P{A3 | A1 ∩ A2}K⋅ P{An | A1 ∩KAn−1}
De Moivre acompañó sus afirmaciones con ejemplos resueltos. También fue consciente de que lo verdaderamente
difícil de este teorema es descubrir cuándo dos sucesos son o no independientes.
Teorema de Bayes.- El trabajo de De Moivre obtuvo una gran difusión, así que el mérito de Bayes no fue tanto la
originalidad sino expresar la probabilidad condicional en función de la probabilidad de la intersección:
{ } { }
P{B}
P A B P A B ∩
| =
Además, el honor del teorema que lleva su nombre no es completamente suyo, ya que él no estaba en condiciones
de formular con probabilidades totales. Fue Pierre–Simon Laplace (1749–1827) quien desarrolló la mayor parte del
teorema de Bayes en su Experiencia en la Filosofía de la Teoría de la Probabilidad (1812). Sea A un suceso que ocurre
en conjunción con uno y sólo uno de los n sucesos disjuntos B1,…,Bn. Si se sabe que el suceso A ha ocurrido, ¿cuál es
la probabilidad de que el suceso Bj también? Laplace respondió de la siguiente manera: «La probabilidad de existencia
de una de esas causas es igual a una fracción con un numerador igual a la probabilidad del suceso que se sigue de esta
causa y un denominador que es la suma de las probabilidades similares relativas a todas las posibles causas. Si estas diferentes
causas a priori no son equiprobables, entonces en lugar de tomar la probabilidad del evento que sigue a cada
causa, se toma el producto de esta probabilidad veces la probabilidad de la causa». Esta enrevesada receta puede escribir
en notación moderna:
{ } { } { }
Σ { } { } ∞
= ⋅
⋅
=
1 |
| |
i i i
i i
i P A B P B
P B A P B P A B
Laplace aplicó el teorema a problemas de la mecánica celeste, la estadística médica e, incluso, a la jurisprudencia.
Al igual que los otros dos teoremas, el Teorema de Bayes ya se usaba anteriormente, aunque nunca había sido formulado.
LOS TEOREMAS DEL LÍMITE
La Ley de los Grandes Números.- Jakob Bernoulli era consciente de que las frecuencias observadas se acercaban
a un cálculo previo de su probabilidad al aumentar el número de repeticiones del experimento. Pero él quería encontrar
una prueba científica que no sólo demostrara que al aumentar el número de observaciones se podía estimar la probabilidad
auténtica con cualquier grado de precisión deseado, sino que permitiera calcular explícitamente cuántas observaciones
eran necesarias para garantizar esa precisión de que el resultado queda dentro de un intervalo predeterminado alrededor
de la verdadera solución. El experimento que consiste repetir una prueba con la misma probabilidad de éxito un
número grande de veces recibió el nombre de ‘experimento de Bernoulli’ y, más adelante, con la creación del concepto
de variable aleatoria, la variable que contabiliza el número de éxitos en N pruebas se llamó ‘Bernoulli’ o ‘binomial’.
Consciente de que en las situaciones de la vida real, la certeza absoluta (probabilidad 1) es imposible de alcanzar,
Bernoulli introdujo la idea de la ‘certeza moral’: para que un resultado fuese moralmente cierto, debía tener una
probabilidad no menor que 0.999, mientras que un resultado con probabilidad no mayor que 0.001 se consideraría ‘moralmente
imposible’. Fue para determinar la certeza moral de un suceso para lo que Bernoulli formuló su teorema, la
Ley de los Grandes Números.
Para ilustrar este concepto, Bernoulli propuso el siguiente ejemplo: una urna con 30.000 bolas blancas y 20.000
negras, aunque el observador no lo sabe, pues lo que quiere es determinar la proporción entre bolas blancas y negras,
sacando una de cada vez, anotando el resultado —éxito si es blanca y fracaso si es negra— y reintroduciéndola en la urna.
Sea N el número de observaciones, X el número de éxitos y p = r/(r+s) la probabilidad de éxito en cada prueba,
siendo r el número de bolas blancas y s el de bolas negras. El teorema de Bernoulli afirma, en terminología moderna,
que dada cualquier pequeña fracción ε (que Bernoulli siempre escribía en la forma 1/(r+s)) y dado cualquier número
entero positivo grande c, se puede hallar un número N = N(c) tal que la probabilidad de que X/N difiera de p no más de
—7—
ε es mayor que c veces la probabilidad de que X/N difiera de p más de ε. Con símbolos:
> ⋅ − >
− ≤ ε p ε
N
p c P X
N
P X
O como escriben los libros modernos:
1
0 tal que 1
+
∀ ∈ + ∃ − >
c
p
N
ε c Z N P X ε
En su ejemplo, para c=1.000, Bernoulli obtuvo como resultado que eran necesarias 25.550 observaciones. La
intuición le decía que no hacían falta tantas y, por ello, lo intentó con otros valores de c. Desilusionado por sentir que
había fracasado en su intento de cuantificar la certeza moral, Bernoulli no incluyó en su libro las aplicaciones prometidas.
El que sí lo hizo fue su sobrino Niklaus (1687–1759), que aplicó el resultado de su tío a registros de 14.000 nacimientos
y llegó a la inesperada conclusión de que la frecuencia de nacimientos de niños es mayor que la de niñas, en la
proporción de 18:17. Este resultado fue confirmado años después por Laplace
El Teorema Central del Límite.- La ley de los Grandes Números planteó el problema de estimar la suma de un
subconjunto de términos de una expresión binomial. La principal dificultad era calcular la probabilidad de que el número
de éxitos de un suceso dado de probabilidad p en n pruebas estuviera entre A y B. Jakob Bernoulli había demostrado
que esta probabilidad era Σ
n y no se quiere obtener todos los eventos posibles.
Sale Par
El = {2,4,6}
Sale Impar
E2 = {1,3,5,}
Menor que tres
E3 = {1,2}
E1 y E2 son eventos mutuamente excluyentes porque E1 inter E2 = vaothing
TEOREMA DE BAYES:
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de ésto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.
Como observación, se tiene \sum_{i=1}^{n}P(A_i |B)=1 y su demostración resulta trivial.
PROBABILIDAD CONDICIONAL:
Llamamos probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A , y lo denotamos por \mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right) al cociente
\mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right) \, = \, \frac { \mathrm{P} \left( \, A \, \cap \, B \right) } { \mathrm{P} \left( \, A \, \right) }
EjemplO
Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?
Sean los sucesos
A = "la suma de los puntos es siete" y
B = "en alguno de los dados ha salido un tres"
El suceso B \left| \, A \, \right. es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas \left( \, 3, \, 4 \, \right) y \left( \, 4, \, 3 \, \right) . Por tanto,
\mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right) \, = \, \frac{2}{6} \, = \, \frac{1}{3}
INDEPENDENCIA ESTADISTICA:
Independencia estadística
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En estadística, decimos que hay independencia estadística entre dos sucesos (posibles resultados de un experimento aleatorio), o que ambos sucesos son estadísticamente independientes, cuando la ocurrencia de uno de ellos no influye en la probabilidad de ocurrencia del otro; es decir, cuando ambos sucesos no están correlacionado
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Tabla de contingencia
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LAS TABLAS DE CONTINGENCIA:
En estadística las tablas de contingencia se emplean para registrar y analizar la relación entre dos o más variables, habitualmente de naturaleza cualitativa -nominales u ordinales-.
Supóngase que se dispone de dos variables, la primera el sexo (hombre o mujer) y la segunda que recoge si el individuo es zurdo o diestro. Se ha observado esta pareja de variables en una muestra aleatoria de 100 individuos. Se puede emplear una tabla de contingencia para expresar la relación entre estas dos variables, del siguiente modo:
Diestro Zurdo TOTAL
Hombre 43 9 52
Mujer 44 4 48
TOTAL 87 13 100
Las cifras en la columna de la derecha y en la fila inferior reciben el nombre de frecuencias marginales y la cifra situada en la esquina inferior derecha es el gran total.
La tabla nos permite ver de un vistazo que la proporción de hombres diestros es aproximadamente igual a la proporción de mujeres diestras. Sin embargo, ambas proporciones no son idénticas y la significación estadística de la diferencia entre ellas puede ser evaluada con el test Chi Cuadrado de Pearson, supuesto que las cifras de la tabla son una muestra aleatoria de una población. Si la proporción de individuos en cada columna varía entre las diversas filas y viceversa, se dice que existe asociación entre las dos variables. Si no existe asociación se dice que ambas variables son independientes.
El grado de asociación entre dos variables se puede evaluar empleando distintos coeficientes: el más simple es el coeficiente phi que se define por
φ = √(χ2 / N)
donde χ2 se deriva del test de Pearson, y N es el total de observaciones -el gran total-. Φ puede oscilar entre 0 (que indica que no existe asociación entre las variables) e infinito. A diferencia de otras medidas de asociación, el coeficiente Φ de Cramer no está acotado.
b. noches profesor ....
en cuanto a los fenómenos aleatorios se centraban
en dos problemas:
1. Contabilizar el número de posibles resultados de lanzar un dado varias veces.
2. Distribuir las ganancias entre jugadores cuando el juego se interrumpía antes de finalizar, conocido como el
‘problema del reparto de apuestas’.
Una respuesta al primer problema se puede encontrar en el poema De Vetula, de Richard de Fournival (1200–
1250), donde afirma correctamente que si se lanzan tres dados hay 216 combinaciones posibles y calcula correctamente
los diferentes valores para la suma de los tres dados. Aunque ahora puede parecer una cuestión trivial, en aquella época
no lo era, y otros autores erraron al intentar resolverla, generalmente porque no tenían en cuenta las posibles permutaciones
de una misma combinación.
El segundo problema fue abordado por Luca Pacioli (1445–1517), quien en 1487 propuso estos dos similares
problemas particulares: un juego en el que el premio es de 22 ducados que consiste en alcanzar 60 puntos se interrumpe
cuando un equipo lleva 50 puntos y el otro 30; y tres arqueros que compiten por un premio de 6 ducados lanzan flechas
hasta que uno de ellos haga 6 dianas, siendo interrumpidos cuando el primero de ellos lleva 4 dianas, el segundo 3 y el
tercero 2. ¿Cómo deben repartirse los premios entre los contendientes? Pacioli propuso que el premio debería ser repartido
en función de las victorias obtenidas anteriormente: así, el premio del primer problema se dividía en 60×5/8 ducados
para el primer equipo y en 60×3/8 para el segundo; para el problema de los arqueros, el premio se dividía en la proporción
4/9, 3/9 y 2/9. Como más tarde se pondría de manifiesto, esta solución es incorrecta.
GIROLAMO CARDANO Y NICCOLO TARTAGLIA
La primera obra importante relacionada con el cálculo de probabilidades en juegos de azar fue el Libro de los
Juegos de Azar, de Girolamo Cardano (1501–1576), escrito en 1565, aunque no publicado hasta 1663. Cardano era un
jugador empedernido y su obra es más bien un manual para jugadores; contiene descripciones de juegos y las precauciones
a tomar para que los rivales no hagan trampas, y sólo una pequeña parte está dedicada al estudio del azar: problemas
tales como calcular todos los resultados posibles al lanzar dos o tres dados y las frecuencias con que aparecían,
hallar la probabilidad de que al lanzar un dado una serie de veces salga un determinado número al menos una vez, o calcular
las frecuencias de los valores de la suma de las caras de una tirada de dos dados. En la resolución de estos problemas,
Cardano trabajó con los conceptos de la definición clásica de la probabilidad, aunque no los definió. En concreto,
Cardano introdujo la idea de asignar una probabilidad p entre 0 y 1 a un suceso cuyo resultado se desconoce, considerando
el número total de resultados y el número de resultados favorables, y esbozó de una forma rudimentaria lo que
ahora se conoce como la “ley de los grandes números”, al afirmar que si la probabilidad de una suceso es p, después de
un número n grande de repeticiones lo más razonable es apostar a que ocurrirá alrededor de np veces. Sin embargo,
Cardano no alcanzó a reconocer la importancia teórica de estos conceptos, ya que consideraba estas relaciones como
meramente aritméticas, más que como una medida de la posibilidad de ocurrencia de una suceso aleatorio.
Cardano se había ocupado previamente del problema del reparto de apuestas. En 1539 escribió que la solución
de Pacioli era incorrecta porque al considerar tan sólo el número de juegos ganados por cada equipo, no contaba cuántos
juegos debían ganar para hacerse con el premio; como solución propuso que si n es el número de juegos totales y a y b
—2—
los juegos ganados por cada equipo, el premio debía repartirse de la siguiente manera [1+2+…+(n-b)]: [1+2+…(n-a)].
Esta solución es, en general, incorrecta y sólo da resultados válidos en casos particulares. El problema del reparto de
apuestas también fue abordado por Niccolo Tartaglia (1499–1557), quien en 1556 publicó un libro sobre aritmética en
el que criticaba la solución dada por Pacioli («Si un bando ha ganado 10 puntos y el otro ninguno, entonces todo el
premio sería para el primer jugador, pero esto no tiene ningún sentido») y dio su propio solución: si un equipo ha ganado
a puntos y el otro b, se juega a n puntos y el premio total es P, las ganancias deberían repartirse de la forma
(P/2)±P[(a-b)/n], siendo la cantidad mayor para el equipo que tenga más victorias. Sin embargo, Tartaglia fue consciente
de que su solución no era la correcta y le dio un carácter más jurisdiccional que matemático.
GALILEO GALILEI
Galileo Galilei (1564–1642) también se dedicó a resolver problemas sobre dados. Su obra Sobre la Puntuación
en Tiradas de Dados calculaba el número de resultados posibles tirando tres dados. A pesar de que ya se sabía desde
mucho tiempo antes que hay 216 posibilidades diferentes, Galileo fue el primero que llegó a esta conclusión a través del
simple cálculo 216=6³. Luego atacaba el problema de calcular de cuántas maneras diferentes se puede lograr cada una
de las puntuaciones entre 3 y 18. Para hacer esto, Galileo numeró los dados —primero, segundo, tercero— y fue considerando
cada una de las combinaciones de los tres dados que sumaban una determinada cantidad, pero sólo entre 3 y 10.
Galileo encontró que sólo hay una manera de obtener tres puntuaciones iguales, tres maneras de obtener dos puntuaciones
iguales y otra diferente, y seis manera de obtener tres puntuaciones diferentes. Su conclusión fue que es preferible
apostar por el 10 antes que por el 9 porque el 10 se puede obtener de 27 maneras por 25 del 9. El resto de posibilidades
—de 11 a 18— se obtenían sin cálculos, directamente por simetría: 18 igual que 3, 17 igual que 4, etc. A pesar de la
simplicidad del problema, Galileo reconoció que quedó exhausto.
Sin embargo, la principal contribución de Galileo a la teoría de la probabilidad fue la creación de la teoría de la
medida de errores. Según Galileo, los errores de medida son inevitables y los clasificó en dos tipos: los errores ‘sistemáticos’,
debidos a los métodos y las herramientas de medida; y los errores ‘aleatorios’, que varían impredeciblemente
de una medida a otra. Esta clasificación sigue en vigor actualmente. Galileo fue muy cuidadoso al analizar las propiedades
de los errores aleatorios y estableció que son más frecuentes los errores pequeños que los grandes; que los errores
por defecto son tan frecuentes como los errores por exceso; y que la mayoría de las mediciones se agrupan alrededor del
verdadero valor. Con estas ideas, Galileo no sólo contribuyó al desarrollo de la teoría de la probabilidad, sino que puso
las bases para el nacimiento de la estadística.
BLAISE PASCAL Y PIERRE DE FERMAT
El desarrollo de la teoría de la probabilidad experimentó un gran avance en Francia a mediados del siglo XVII
con la correspondencia que mantuvieron Blaise Pascal (1623–1662) y Pierre de Fermat (1601-1665) durante 1654. Antoine
Gombaud, caballero de Méré, filósofo y literato que jugaba compulsivamente, pidió a Pascal que le resolviese el
problema del reparto de apuestas. Pascal y Fermat lo resolvieron correctamente por medios diferentes pero equivalentes,
aunque el desconocimiento de la teoría general les hizo pensar que no lo eran. El acierto de ambos consistió en darse
cuenta de que el reparto de las apuestas debe hacerse en función de la probabilidad de ganar que tuviese cada jugador en
el momento de interrumpirse el juego. Para hallar la solución correcta se valieron de una riguroso metodología desconocida
hasta entonces; sin embargo, Pascal falló en su intento de extender el procedimiento al caso en que hubiera tres o
más jugadores.
DEFINICIONES DE LA PROBABILIDADES :El primero en dar la
definición clásica de probabilidad fue Jakob Bernoulli (1654–1705) en su obra El Arte de Predecir –publicada póstumamente
en 1713—, muy influenciado por los trabajos de Graunt y Petty, que habían demostrado las ventajas de incluir
en sus tablas no sólo los números absolutos, sino también las proporciones respecto del total. Más adelante, el matemático
francés exiliado en Inglaterra Abraham De Moivre (1667–1754) aceptó la definición dada por Bernoulli y la reformuló
en términos modernos: «una fracción en la que el numerador es igual al número de apariciones del suceso y el denominador
es igual al número total de casos en los que es suceso pueda o no pueda ocurrir. Tal fracción expresa la probabilidad
de que ocurra el suceso». La definición clásica de la probabilidad, en su forma actual, está basada en el concepto
de equiprobabilidad de los resultados, basado a su vez en la simetría. Se supone que un experimento se puede
descomponer en n sucesos equiprobables y mutuamente excluyentes E1,…,En, llamados sucesos ‘elementales’. Así, la
probabilidad de suceso aleatorio A es el número del intervalo [0,1] que expresa el cociente entre los m sucesos elementales
que componen A y el número total n de posibles sucesos elementales. El principal escollo que encuentra esta in—
5—
terpretación de la probabilidad es la dificultad de descomponer un suceso en sucesos elementales equiprobables; siendo
fácil para problemas sencillos, como los de cartas, dados o urnas, es casi imposible para problemas más complejos.
Basándose en los trabajos de Graunt y Petty, Bernoulli resolvió incluso la cuestión de cómo hallar la probabilidad
de ocurrencia de un suceso aun siendo imposible contar los casos favorables: «Aquí hay otro camino disponible para
alcanzar el resultado deseado. Lo que no se puede hallar a priori se puede obtener a posteriori, es decir, mediante la
observación múltiple de los resultados de pruebas similares…» De esta manera, Bernoulli introdujo el concepto de probabilidad
‘frecuentista’ o ‘estadística’: asignar como probabilidad de un suceso el resultado que se obtendría si el proceso
se repitiera en condiciones similares un número grande de veces. Sin embargo, estas condiciones son demasiado vagas
para servir como base para una definición científica rigurosa. En primer lugar, se menciona un ‘número grande’ de
veces, pero no se da ninguna indicación sobre cuál es ese número lo suficientemente grande; no se describe con precisión
qué se entiende por condiciones similares —si las condiciones fuesen siempre exactamente las mismas se obtendría
siempre el mismo resultado—; tampoco se especifica cuál es la máxima desviación admitida respecto del resultado teórico;
además, sigue habiendo sucesos que no pueden plantearse suponiendo la posibilidad de repetirlos muchas veces.
TEOREMAS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Los tres teoremas básicos que hicieron posible el desarrollo de la probabilidad tal y como la conocemos hoy fueron
los teoremas de la suma, de la multiplicación y de la probabilidad total. Aunque ni Fermat ni Pascal no Huygens los
idearon, en sus escritos aparecen ya de una forma implícita y utilizados correctamente.
Teorema de la Suma.- Pascal dio a entender implícitamente que sabía cómo calcular los casos favorables de un
suceso A si conocía los casos favorables de unos Aj disjuntos cuya unión es A (es decir, si los Aj son una partición de
A). Jakob Bernoulli también fue consciente de ello, y fue más allá al darse cuenta de que la probabilidad de la unión no
es la suma de las probabilidades si los sucesos no son disjuntos, aunque no supo dar la razón. Previamente, Cardano había
expresado un resultado similar en términos de casos en vez de probabilidades. No fue ninguno de ellos quien formuló
finalmente el teorema de la suma de la probabilidades, sino el reverendo inglés Thomas Bayes (1702–1761), cuyo
trabajo fue leído póstumamente, en 1763. En esta obra, Bayes da la primera definición explícita de sucesos disjuntos —
él los llamó ‘inconsistentes’— y enunció la fórmula ahora conocida:
P{A∪ B}= P{A}+ P{B}− P{A∩ B}
Teorema de la Multiplicación.- Del mismo modo, el teorema de la multiplicación de probabilidades era conocido
por casi todos los estudiosos a través de cálculos particulares. Sin embargo, fue Abraham De Moivre (1667–1754) el
primero que los enunció con autoridad. En la introducción a su obra Doctrina de las Posibilidades de 1711, De Moivre
presentó el importante concepto de independencia de sucesos aleatorios; así, escribió: «Diremos que dos sucesos son
independientes, si uno de ellos no tiene ninguna relación con el otro» y procedió a definir los sucesos dependientes:
«Dos sucesos son dependientes si están ligados el uno al otro y la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos influye en
la probabilidad de ocurrencia del otro». Una vez hecho esto, De Moivre lo aplicó al cálculo de probabilidades: «la probabilidad
de ocurrencia de dos sucesos dependientes es igual a la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos dividida
por la probabilidad de que el otro ocurra si el primero ya ha ocurrido. Esta regla puede generalizarse para varios sucesos
». El caso de varios sucesos lo describía así: «Se necesita elegir uno de ellos como el primero, otro como el segundo,
y así. Luego, la ocurrencia del primero debe considerarse independiente de todas las demás; el segundo debe considerarse
con la condición de que el primero ha ocurrido: el tercero con la condición de que tanto el primero como el segundo
han ocurrido, y así. De aquí, la probabilidad de las ocurrencias de todos los sucesos es igual al producto de todas las
probabilidades». O en notación moderna:
P{A1 ∩ A2KAn}= P{A1}⋅ P{A2 | A1}⋅ P{A3 | A1 ∩ A2}K⋅ P{An | A1 ∩KAn−1}
De Moivre acompañó sus afirmaciones con ejemplos resueltos. También fue consciente de que lo verdaderamente
difícil de este teorema es descubrir cuándo dos sucesos son o no independientes.
Teorema de Bayes.- El trabajo de De Moivre obtuvo una gran difusión, así que el mérito de Bayes no fue tanto la
originalidad sino expresar la probabilidad condicional en función de la probabilidad de la intersección:
{ } { }
P{B}
P A B P A B ∩
| =
Además, el honor del teorema que lleva su nombre no es completamente suyo, ya que él no estaba en condiciones
de formular con probabilidades totales. Fue Pierre–Simon Laplace (1749–1827) quien desarrolló la mayor parte del
teorema de Bayes en su Experiencia en la Filosofía de la Teoría de la Probabilidad (1812). Sea A un suceso que ocurre
en conjunción con uno y sólo uno de los n sucesos disjuntos B1,…,Bn. Si se sabe que el suceso A ha ocurrido, ¿cuál es
la probabilidad de que el suceso Bj también? Laplace respondió de la siguiente manera: «La probabilidad de existencia
de una de esas causas es igual a una fracción con un numerador igual a la probabilidad del suceso que se sigue de esta
causa y un denominador que es la suma de las probabilidades similares relativas a todas las posibles causas. Si estas diferentes
causas a priori no son equiprobables, entonces en lugar de tomar la probabilidad del evento que sigue a cada
causa, se toma el producto de esta probabilidad veces la probabilidad de la causa». Esta enrevesada receta puede escribir
en notación moderna:
{ } { } { }
Σ { } { } ∞
= ⋅
⋅
=
1 |
| |
i i i
i i
i P A B P B
P B A P B P A B
Laplace aplicó el teorema a problemas de la mecánica celeste, la estadística médica e, incluso, a la jurisprudencia.
Al igual que los otros dos teoremas, el Teorema de Bayes ya se usaba anteriormente, aunque nunca había sido formulado.
LOS TEOREMAS DEL LÍMITE
La Ley de los Grandes Números.- Jakob Bernoulli era consciente de que las frecuencias observadas se acercaban
a un cálculo previo de su probabilidad al aumentar el número de repeticiones del experimento. Pero él quería encontrar
una prueba científica que no sólo demostrara que al aumentar el número de observaciones se podía estimar la probabilidad
auténtica con cualquier grado de precisión deseado, sino que permitiera calcular explícitamente cuántas observaciones
eran necesarias para garantizar esa precisión de que el resultado queda dentro de un intervalo predeterminado alrededor
de la verdadera solución. El experimento que consiste repetir una prueba con la misma probabilidad de éxito un
número grande de veces recibió el nombre de ‘experimento de Bernoulli’ y, más adelante, con la creación del concepto
de variable aleatoria, la variable que contabiliza el número de éxitos en N pruebas se llamó ‘Bernoulli’ o ‘binomial’.
Consciente de que en las situaciones de la vida real, la certeza absoluta (probabilidad 1) es imposible de alcanzar,
Bernoulli introdujo la idea de la ‘certeza moral’: para que un resultado fuese moralmente cierto, debía tener una
probabilidad no menor que 0.999, mientras que un resultado con probabilidad no mayor que 0.001 se consideraría ‘moralmente
imposible’. Fue para determinar la certeza moral de un suceso para lo que Bernoulli formuló su teorema, la
Ley de los Grandes Números.
Para ilustrar este concepto, Bernoulli propuso el siguiente ejemplo: una urna con 30.000 bolas blancas y 20.000
negras, aunque el observador no lo sabe, pues lo que quiere es determinar la proporción entre bolas blancas y negras,
sacando una de cada vez, anotando el resultado —éxito si es blanca y fracaso si es negra— y reintroduciéndola en la urna.
Sea N el número de observaciones, X el número de éxitos y p = r/(r+s) la probabilidad de éxito en cada prueba,
siendo r el número de bolas blancas y s el de bolas negras. El teorema de Bernoulli afirma, en terminología moderna,
que dada cualquier pequeña fracción ε (que Bernoulli siempre escribía en la forma 1/(r+s)) y dado cualquier número
entero positivo grande c, se puede hallar un número N = N(c) tal que la probabilidad de que X/N difiera de p no más de
—7—
ε es mayor que c veces la probabilidad de que X/N difiera de p más de ε. Con símbolos:
> ⋅ − >
− ≤ ε p ε
N
p c P X
N
P X
O como escriben los libros modernos:
1
0 tal que 1
+
∀ ∈ + ∃ − >
c
p
N
ε c Z N P X ε
En su ejemplo, para c=1.000, Bernoulli obtuvo como resultado que eran necesarias 25.550 observaciones. La
intuición le decía que no hacían falta tantas y, por ello, lo intentó con otros valores de c. Desilusionado por sentir que
había fracasado en su intento de cuantificar la certeza moral, Bernoulli no incluyó en su libro las aplicaciones prometidas.
El que sí lo hizo fue su sobrino Niklaus (1687–1759), que aplicó el resultado de su tío a registros de 14.000 nacimientos
y llegó a la inesperada conclusión de que la frecuencia de nacimientos de niños es mayor que la de niñas, en la
proporción de 18:17. Este resultado fue confirmado años después por Laplace
El Teorema Central del Límite.- La ley de los Grandes Números planteó el problema de estimar la suma de un
subconjunto de términos de una expresión binomial. La principal dificultad era calcular la probabilidad de que el número
de éxitos de un suceso dado de probabilidad p en n pruebas estuviera entre A y B. Jakob Bernoulli había demostrado
que esta probabilidad era Σ
n y no se quiere obtener todos los eventos posibles.
Sale Par
El = {2,4,6}
Sale Impar
E2 = {1,3,5,}
Menor que tres
E3 = {1,2}
E1 y E2 son eventos mutuamente excluyentes porque E1 inter E2 = vaothing
TEOREMA DE BAYES:
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de ésto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.
Como observación, se tiene \sum_{i=1}^{n}P(A_i |B)=1 y su demostración resulta trivial.
PROBABILIDAD CONDICIONAL:
Llamamos probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A , y lo denotamos por \mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right) al cociente
\mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right) \, = \, \frac { \mathrm{P} \left( \, A \, \cap \, B \right) } { \mathrm{P} \left( \, A \, \right) }
EjemplO
Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?
Sean los sucesos
A = "la suma de los puntos es siete" y
B = "en alguno de los dados ha salido un tres"
El suceso B \left| \, A \, \right. es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas \left( \, 3, \, 4 \, \right) y \left( \, 4, \, 3 \, \right) . Por tanto,
\mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right) \, = \, \frac{2}{6} \, = \, \frac{1}{3}
INDEPENDENCIA ESTADISTICA:
Independencia estadística
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En estadística, decimos que hay independencia estadística entre dos sucesos (posibles resultados de un experimento aleatorio), o que ambos sucesos son estadísticamente independientes, cuando la ocurrencia de uno de ellos no influye en la probabilidad de ocurrencia del otro; es decir, cuando ambos sucesos no están correlacionado
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Tabla de contingencia
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LAS TABLAS DE CONTINGENCIA:
En estadística las tablas de contingencia se emplean para registrar y analizar la relación entre dos o más variables, habitualmente de naturaleza cualitativa -nominales u ordinales-.
Supóngase que se dispone de dos variables, la primera el sexo (hombre o mujer) y la segunda que recoge si el individuo es zurdo o diestro. Se ha observado esta pareja de variables en una muestra aleatoria de 100 individuos. Se puede emplear una tabla de contingencia para expresar la relación entre estas dos variables, del siguiente modo:
Diestro Zurdo TOTAL
Hombre 43 9 52
Mujer 44 4 48
TOTAL 87 13 100
Las cifras en la columna de la derecha y en la fila inferior reciben el nombre de frecuencias marginales y la cifra situada en la esquina inferior derecha es el gran total.
La tabla nos permite ver de un vistazo que la proporción de hombres diestros es aproximadamente igual a la proporción de mujeres diestras. Sin embargo, ambas proporciones no son idénticas y la significación estadística de la diferencia entre ellas puede ser evaluada con el test Chi Cuadrado de Pearson, supuesto que las cifras de la tabla son una muestra aleatoria de una población. Si la proporción de individuos en cada columna varía entre las diversas filas y viceversa, se dice que existe asociación entre las dos variables. Si no existe asociación se dice que ambas variables son independientes.
El grado de asociación entre dos variables se puede evaluar empleando distintos coeficientes: el más simple es el coeficiente phi que se define por
φ = √(χ2 / N)
donde χ2 se deriva del test de Pearson, y N es el total de observaciones -el gran total-. Φ puede oscilar entre 0 (que indica que no existe asociación entre las variables) e infinito. A diferencia de otras medidas de asociación, el coeficiente Φ de Cramer no está acotado.
profesor aqui esta el comentario del material que usted dejo .
La probabilidad matemática tiene sus orígenes en los juegos de azar, principalmente los juegos con dados y cartas,
muy populares desde tiempos antiguos. Los primeros estudios “científicos” sobre fenómenos aleatorios se centraban
en dos problemas:
1. Contabilizar el número de posibles resultados de lanzar un dado varias veces.
2. Distribuir las ganancias entre jugadores cuando el juego se interrumpía antes de finalizar, conocido como el
‘problema del reparto de apuestas’.
Una respuesta al primer problema se puede encontrar en el poema De Vetula, de Richard de Fournival (1200–
1250), donde afirma correctamente que si se lanzan tres dados hay 216 combinaciones posibles y calcula correctamente
los diferentes valores para la suma de los tres dados. Aunque ahora puede parecer una cuestión trivial, en aquella época
no lo era, y otros autores erraron al intentar resolverla, generalmente porque no tenían en cuenta las posibles permutaciones
de una misma combinación.
Evento se le llama evento a todo subconjunto de un espacio maestral por ejemplo E=(1, 2, 3, 4, 5, 6,) del lanzamiento de un dado los siguiente son evento obtener el numero primo A=(2,3,5)
Obtener el numero primo y par B=(2)
Obtener el numero mayor o igual a 5c=(5,6)
espacio muestral son el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Se suele representar por Ω.
• Tipo de eventos
evento elemental es un subconjunto .
• Un evento compuesto es un subconjunto .
• Los eventos triviales son el conjunto universal Ω y el conjunto vacío. Al primero se le llama también evento seguro, y al segundo, evento imposible.
• Sean dos eventos A y B, si ambos son conjuntos disjuntos, entonces ellos son eventos excluyentes.
• Un evento con elementos infinitos pero numerables se llama σ-álgebra (sigma-álgebra), y un evento con elementos finitos se llama álgebra de sucesos de Boole.
• El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
• Sea {A1,A2,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:
•
•
independencia estadística cuando ambos sucesos no están correlacionados
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo
Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico?
N
Solución: A
A B
N
B A
B
M AB N
A
O B
A
N
F B A
B
AB
B
O A
B
profesor aqui esta mi comentario
os diferentes valores para la suma de los tres dados. Aunque ahora puede parecer una cuestión trivial, en aquella época
no lo era, y otros autores erraron al intentar resolverla, generalmente porque no tenían en cuenta las posibles permutaciones
de una misma combinación.
El segundo problema fue abordado por Luca Pacioli (1445–1517), quien en 1487 propuso estos dos similares
problemas particulares: un juego en el que el premio es de 22 ducados que consiste en alcanzar 60 puntos se interrumpe
cuando un equipo lleva 50 puntos y el otro 30; y tres arqueros que compiten por un premio de 6 ducados lanzan flechas
hasta que uno de ellos haga 6 dianas, siendo interrumpidos cuando el primero de ellos lleva 4 dianas, el segundo 3 y el
tercero 2. ¿Cómo deben repartirse los premios entre los contendientes? Pacioli propuso que el premio debería ser repartido
en función de las victorias obtenidas anteriormente: así, el premio del primer problema se dividía en 60×5/8 ducados
para el primer equipo y en 60×3/8 para el segundo; para el problema de los arqueros, el premio se dividía en la proporción
4/9, 3/9 y 2/9. Como más tarde se pondría de manifiesto, esta solución es incorrecta.
GIROLAMO CARDANO Y NICCOLO TARTAGLIA
La primera obra importante relacionada con el cálculo de probabilidades en juegos de azar fue el Libro de los
Juegos de Azar, de Girolamo Cardano (1501–1576), escrito en 1565, aunque no publicado hasta 1663. Cardano era un
jugador empedernido y su obra es más bien un manual para jugadores; contiene descripciones de juegos y las precauciones
a tomar para que los rivales no hagan trampas, y sólo una pequeña parte está dedicada al estudio del azar: problemas
tales como calcular todos los resultados posibles al lanzar dos o tres dados y las frecuencias con que aparecían,
hallar la probabilidad de que al lanzar un dado una serie de veces salga un determinado número al menos una vez, o calcular
las frecuencias de los valores de la suma de las caras de una tirada de dos dados. En la resolución de estos problemas,
Cardano trabajó con los conceptos de la definición clásica de la probabilidad, aunque no los definió. En concreto,
Cardano introdujo la idea de asignar una probabilidad p entre 0 y 1 a un suceso cuyo resultado se desconoce, considerando
el número total de resultados y el número de resultados favorables, y esbozó de una forma rudimentaria lo que
ahora se conoce como la “ley de los grandes números”, al afirmar que si la probabilidad de una suceso es p, después de
un número n grande de repeticiones lo más razonable es apostar a que ocurrirá alrededor de np veces. Sin embargo,
Cardano no alcanzó a reconocer la importancia teórica de estos conceptos, ya que consideraba estas relaciones como
meramente aritméticas, más que como una medida de la posibilidad de ocurrencia de una suceso aleatorio.
Cardano se había ocupado previamente del problema del reparto de apuestas. En 1539 escribió que la solución
de Pacioli era incorrecta porque al considerar tan sólo el número de juegos ganados por cada equipo, no contaba cuántos
juegos debían ganar para hacerse con el premio; como solución propuso que si n es el número de juegos totales y a y b
—2—
los juegos ganados por cada equipo, el premio debía repartirse de la siguiente manera [1+2+…+(n-b)]: [1+2+…(n-a)].
Esta solución es, en general, incorrecta y sólo da resultados válidos en casos particulares. El problema del reparto de
apuestas también fue abordado por Niccolo Tartaglia (1499–1557), quien en 1556 publicó un libro sobre aritmética en
el que criticaba la solución dada por Pacioli («Si un bando ha ganado 10 puntos y el otro ninguno, entonces todo el
premio sería para el primer jugador, pero esto no tiene ningún sentido») y dio su propio solución: si un equipo ha ganado
a puntos y el otro b, se juega a n puntos y el premio total es P, las ganancias deberían repartirse de la forma
(P/2)±P[(a-b)/n], siendo la cantidad mayor para el equipo que tenga más victorias. Sin embargo, Tartaglia fue consciente
de que su solución no era la correcta y le dio un carácter más jurisdiccional que matemático.
buenas tardes profesor espero que se encuentre bien
PROBABILIDAD:La probabilidad como teoría es sumamente nueva el hombre a tenido la necesidad de medir la continuidad de ciertos evento mediante datos que son regulare y se repiten pero muchas veces presentan variaciones Muchos que estudiaron esta rama le dieron características matemáticas tales como póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre y otro le dieron un tratamiento científico Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens después en el año 1755 Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó por primera vez la teoría para la discusión de errores de observación.
LOS PRIMEROS ESTUDIOS CIENTIFICOS DE PROBLEMAS ALEATORIO SE CENTRABAN EN DOS PROBLEMAS
Contabilizar el número de posibles resultados de lanzar un dado varias veces.
2. Distribuir las ganancias entre jugadores cuando el juego se interrumpía antes de finalizar, conocido como el
‘problema del reparto de apuestas
TEOREMAS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Los tres teoremas básicos que hicieron posible el desarrollo de la probabilidad tal y como la conocemos hoy fueron
los teoremas de la suma, de la multiplicación y de la probabilidad total.
TIPOS DE EVENTOS
evento elemental es un subconjunto .
• Un evento compuesto es un subconjunto .
• Los eventos triviales son el conjunto universal Ω y el conjunto vacío. Al primero se le llama también evento seguro, y al segundo, evento imposible.
• Sean dos eventos A y B, si ambos son conjuntos disjuntos, entonces ellos son eventos excluyentes.
• Un evento con elementos infinitos pero numerables se llama σ-álgebra (sigma-álgebra), y un evento con elementos finitos se llama álgebra de sucesos de Boole.
• El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
• Sea {A1,A2,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:
hola como esta mi profe favorito.
aqui esta nuestro super comentario ok oseea. .
La probabilidad matemática tiene sus orígenes en los juegos de azar, principalmente los juegos con dados y cartas,
muy populares desde tiempos antiguos. Los primeros estudios “científicos” sobre fenómenos aleatorios se centraban
en dos problemas:
1. Contabilizar el número de posibles resultados de lanzar un dado varias veces.
2. Distribuir las ganancias entre jugadores cuando el juego se interrumpía antes de finalizar, conocido como el
‘problema del reparto de apuestas’.
Una respuesta al primer problema se puede encontrar en el poema De Vetula, de Richard de Fournival (1200–
1250), donde afirma correctamente que si se lanzan tres dados hay 216 combinaciones posibles y calcula correctamente
los diferentes valores para la suma de los tres dados. Aunque ahora puede parecer una cuestión trivial, en aquella época
no lo era, y otros autores erraron al intentar resolverla, generalmente porque no tenían en cuenta las posibles permutaciones
de una misma combinación.
Evento se le llama evento a todo subconjunto de un espacio maestral por ejemplo E=(1, 2, 3, 4, 5, 6,) del lanzamiento de un dado los siguiente son evento obtener el numero primo A=(2,3,5)
Obtener el numero primo y par B=(2)
Obtener el numero mayor o igual a 5c=(5,6)
espacio muestral son el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Se suele representar por Ω.
• Tipo de eventos
evento elemental es un subconjunto .
• Un evento compuesto es un subconjunto .
• Los eventos triviales son el conjunto universal Ω y el conjunto vacío. Al primero se le llama también evento seguro, y al segundo, evento imposible.
• Sean dos eventos A y B, si ambos son conjuntos disjuntos, entonces ellos son eventos excluyentes.
• Un evento con elementos infinitos pero numerables se llama σ-álgebra (sigma-álgebra), y un evento con elementos finitos se llama álgebra de sucesos de Boole.
• El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
• Sea {A1,A2,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:
•
•
independencia estadística cuando ambos sucesos no están correlacionados
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo
Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico?
N
Solución: A
A B
N
B A
B
M AB N
A
O B
A
N
F B A
B
AB
B
O A
B
gracias por el material de apoyo
hola profesor soy la alumna dimas escobar de administracion de desastre de la seccion I-oo1 recibi la informacion muchas gracias
La Probabilidad:
La probabilidad matemática tiene sus orígenes en los juegos de azar, principalmente los juegos con dados y cartas,
muy populares desde tiempos antiguos. Los primeros estudios “científicos” sobre fenómenos aleatorios se centraban
en dos problemas:
1. Contabilizar el número de posibles resultados de lanzar un dado varias veces.
2. Distribuir las ganancias entre jugadores cuando el juego se interrumpía antes de finalizar, conocido como el
‘problema del reparto de apuestas’.
Una respuesta al primer problema se puede encontrar en el poema De Vetula, de Richard de Fournival (1200–
1250), donde afirma correctamente que si se lanzan tres dados hay 216 combinaciones posibles y calcula correctamente
los diferentes valores para la suma de los tres dados. Aunque ahora puede parecer una cuestión trivial, en aquella época
no lo era, y otros autores erraron al intentar resolverla, generalmente porque no tenían en cuenta las posibles permutaciones
de una misma combinación.
El segundo problema fue abordado por Luca Pacioli (1445–1517), quien en 1487 propuso estos dos similares
problemas particulares: un juego en el que el premio es de 22 ducados que consiste en alcanzar 60 puntos se interrumpe
cuando un equipo lleva 50 puntos y el otro 30; y tres arqueros que compiten por un premio de 6 ducados lanzan flechas
hasta que uno de ellos haga 6 dianas, siendo interrumpidos cuando el primero de ellos lleva 4 dianas, el segundo 3 y el
tercero 2. ¿Cómo deben repartirse los premios entre los contendientes? Pacioli propuso que el premio debería ser repartido
en función de las victorias obtenidas anteriormente: así, el premio del primer problema se dividía en 60×5/8 ducados
para el primer equipo y en 60×3/8 para el segundo; para el problema de los arqueros, el premio se dividía en la proporción
4/9, 3/9 y 2/9. Como más tarde se pondría de manifiesto, esta solución es incorrecta.
Girolamo Cardano Y Niccolo Tartaglia
La primera obra importante relacionada con el cálculo de probabilidades en juegos de azar fue el Libro de los
Juegos de Azar, de Girolamo Cardano (1501–1576), escrito en 1565, aunque no publicado hasta 1663. Cardano era un
jugador empedernido y su obra es más bien un manual para jugadores; contiene descripciones de juegos y las precauciones
a tomar para que los rivales no hagan trampas, y sólo una pequeña parte está dedicada al estudio del azar: problemas
tales como calcular todos los resultados posibles al lanzar dos o tres dados y las frecuencias con que aparecían,
hallar la probabilidad de que al lanzar un dado una serie de veces salga un determinado número al menos una vez, o calcular
las frecuencias de los valores de la suma de las caras de una tirada de dos dados. En la resolución de estos problemas,
Cardano trabajó con los conceptos de la definición clásica de la probabilidad, aunque no los definió. En concreto,
Cardano introdujo la idea de asignar una probabilidad p entre 0 y 1 a un suceso cuyo resultado se desconoce, considerando
el número total de resultados y el número de resultados favorables, y esbozó de una forma rudimentaria lo que
ahora se conoce como la “ley de los grandes números”, al afirmar que si la probabilidad de una suceso es p, después de
un número n grande de repeticiones lo más razonable es apostar a que ocurrirá alrededor de np veces. Sin embargo,
Cardano no alcanzó a reconocer la importancia teórica de estos conceptos, ya que consideraba estas relaciones como
meramente aritméticas, más que como una medida de la posibilidad de ocurrencia de una suceso aleatorio.
Galileo
Galileo Galilei (1564–1642) también se dedicó a resolver problemas sobre dados. Su obra Sobre la Puntuación
en Tiradas de Dados calculaba el número de resultados posibles tirando tres dados. A pesar de que ya se sabía desde
mucho tiempo antes que hay 216 posibilidades diferentes, Galileo fue el primero que llegó a esta conclusión a través del
simple cálculo 216=6³. Luego atacaba el problema de calcular de cuántas maneras diferentes se puede lograr cada una
de las puntuaciones entre 3 y 18. Para hacer esto, Galileo numeró los dados —primero, segundo, tercero— y fue considerando
cada una de las combinaciones de los tres dados que sumaban una determinada cantidad, pero sólo entre 3 y 10.
Ley De Los Grandes Números.
Para ilustrar este concepto, Bernoulli propuso el siguiente ejemplo: una urna con 30.000 bolas blancas y 20.000
negras, aunque el observador no lo sabe, pues lo que quiere es determinar la proporción entre bolas blancas y negras,
sacando una de cada vez, anotando el resultado —éxito si es blanca y fracaso si es negra— y reintroduciéndola en la urna.
Sea N el número de observaciones, X el número de éxitos y p = r/(r+s) la probabilidad de éxito en cada prueba,
siendo r el número de bolas blancas y s el de bolas negras. El teorema de Bernoulli afirma, en terminología moderna,
que dada cualquier pequeña fracción ε (que Bernoulli siempre escribía en la forma 1/(r+s)) y dado cualquier número
entero positivo grande c, se puede hallar un número N = N(c) tal que la probabilidad de que X/N difiera de p no más de
—7—
ε es mayor que c veces la probabilidad de que X/N difiera de p más de ε. Con símbolos:
> ⋅ − >
− ≤ ε p ε
N
p c P X
N
P X
O como escriben los libros modernos:
1
0 tal que 1
+
∀ ∈ + ∃ − >
c
p
N
ε c Z N P X ε
En su ejemplo, para c=1.000, Bernoulli obtuvo como resultado que eran necesarias 25.550 observaciones. La
intuición le decía que no hacían falta tantas y, por ello, lo intentó con otros valores de c. Desilusionado por sentir que
había fracasado en su intento de cuantificar la certeza moral, Bernoulli no incluyó en su libro las aplicaciones prometidas.
El que sí lo hizo fue su sobrino Niklaus (1687–1759), que aplicó el resultado de su tío a registros de 14.000 nacimientos
y llegó a la inesperada conclusión de que la frecuencia de nacimientos de niños es mayor que la de niñas, en la
proporción de 18:17. Este resultado fue confirmado años después por Laplace
El Teorema Central del Límite.- La ley de los Grandes Números planteó el problema de estimar la suma de un
subconjunto de términos de una expresión binomial. La principal dificultad era calcular la probabilidad de que el número
de éxitos de un suceso dado de probabilidad p en n pruebas estuviera entre A y B. Jakob Bernoulli había demostrado
que esta probabilidad era Σ
n y no se quiere obtener todos los eventos posibles.
Sale Par
El = {2,4,6}
Sale Impar
E2 = {1,3,5,}
Menor que tres
E3 = {1,2}
E1 y E2 son eventos mutuamente excluyentes porque E1 inter E2 = vaothing
TEOREMA DE BAYES:
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de ésto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.
Como observación, se tiene \sum_{i=1}^{n}P(A_i |B)=1 y su demostración resulta trivial.
PROBABILIDAD CONDICIONAL:
Llamamos probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A , y lo denotamos por \mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right) al cociente
\mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right) \, = \, \frac { \mathrm{P} \left( \, A \, \cap \, B \right) } { \mathrm{P} \left( \, A \, \right) }
EjemplO
Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?
Sean los sucesos
A = "la suma de los puntos es siete" y
B = "en alguno de los dados ha salido un tres"
El suceso B \left| \, A \, \right. es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas \left( \, 3, \, 4 \, \right) y \left( \, 4, \, 3 \, \right) . Por tanto,
\mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right) \, = \, \frac{2}{6} \, = \, \frac{1}{3}
PROBABILIDAD
FRECUENCIA RELATIVA A LARGO PLAZO CON LA QUE OCURRE UN RESULTADO O EVENTO.
ESPACIO MUESTRAL.- Todos los posibles resultados de un experimento.
TIPOS DE EVENTOS
-Exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.
-No exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son no exhaustivos si no agotan todos los posibles resultados.
-Mutuamente exclusivos.- Eventos que no pueden ocurrir en forma simultánea.
-No mutuamente exclusivos.- Eventos que pueden ocurrir en forma simultánea.
-Independientes.- eventos cuya probabilidad no es afectada porque ocurran o no ocurran entre ellos.
-Dependientes.- Eventos cuya probabilidad cambia dependiendo de que ocurran o no ocurran entre si.
PROBABILIDADES CONJUNTAS.- Probabilidad de que 2 o mas eventos ocurran simultáneamente.
PROBABILIDADES MARGINALES.- o Probabilidades condicionales = suma de probabilidades.
PROBABILIDADES CONDICIONALES.- Probabilidad de A dada la existencia de S, que se escribe p(A/S).
VARIABLES ALEATEOREAS DISCRETAS.- Comprenden reglas o modelos de probabilidad para asignar o generar solo valores distintos (no mediciones fraccionarias).
RESEÑA HISTORICA DE LA PROBABILIDAD:
La probabilidad matemática tiene sus orígenes en los juegos de azar, principalmente los juegos con dados y cartas,muy populares desde tiempos antiguos. Los primeros estudios “científicos” sobre fenómenos aleatorios se centraban en dos problemas:
1. Contabilizar el número de posibles resultados de lanzar un dado varias veces.
2. Distribuir las ganancias entre jugadores cuando el juego se interrumpía antes de finalizar, conocido como el ‘problema del reparto de apuestas’. Una respuesta al primer problema se puede encontrar en el poema De Vetula, de Richard de Fournival (1200–
1250), donde afirma correctamente que si se lanzan tres dados hay 216 combinaciones posibles y calcula correctamente los diferentes valores para la suma de los tres dados. Aunque ahora puede parecer una cuestión trivial, en aquella época no lo era, y otros autores erraron al intentar resolverla, generalmente porque no tenían en cuenta las posibles permutaciones de una misma combinación.
El segundo problema fue abordado por Luca Pacioli (1445–1517), quien en 1487 propuso estos dos similares problemas particulares: un juego en el que el premio es de 22 ducados que consiste en alcanzar 60 puntos se interrumpe cuando un equipo lleva 50 puntos y el otro 30; y tres arqueros que compiten por un premio de 6 ducados lanzan flechas
hasta que uno de ellos haga 6 dianas, siendo interrumpidos cuando el primero de ellos lleva 4 dianas, el segundo 3 y el tercero 2. ¿Cómo deben repartirse los premios entre los contendientes? Pacioli propuso que el premio debería ser repartido en función de las victorias obtenidas anteriormente: así, el premio del primer problema se dividía en 60×5/8 ducados
para el primer equipo y en 60×3/8 para el segundo; para el problema de los arqueros, el premio se dividía en la proporción 4/9, 3/9 y 2/9. Como más tarde se pondría de manifiesto, esta solución es incorrecta.
GIROLAMO CARDANO Y NICCOLO TARTAGLIA
La primera obra importante relacionada con el cálculo de probabilidades en juegos de azar fue el Libro de los Juegos de Azar, de Girolamo Cardano (1501–1576), escrito en 1565, aunque no publicado hasta 1663. Cardano era un jugador empedernido y su obra es más bien un manual para jugadores; contiene descripciones de juegos y las precauciones
a tomar para que los rivales no hagan trampas, y sólo una pequeña parte está dedicada al estudio del azar: problemas tales como calcular todos los resultados posibles al lanzar dos o tres dados y las frecuencias con que aparecían, hallar la probabilidad de que al lanzar un dado una serie de veces salga un determinado número al menos una vez, o calcular
las frecuencias de los valores de la suma de las caras de una tirada de dos dados. En la resolución de estos problemas, Cardano trabajó con los conceptos de la definición clásica de la probabilidad, aunque no los definió
Teoría de conjutos
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor
Diagrama de Venn que muestra un conjunto A contenido en otro conjunto U y su diferencia
Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos
Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos y se dicen iguales, lo que se escribe si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también contenido en B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos:
Subconjuntos y Superconjunto
Un conjunto se dice que es subconjunto de otro , si cada elemento de es también elemento de , es decir, cuando se verifique:
,
sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe .
Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si , se cumpla . Si tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto , pero si todo elemento de es elemento de , entonces decimos que es un subconjunto propio de , lo que se representa por . En otras palabras, si y sólo si , y . Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto A es subconjunto impropio de sí mismo.
Si es un subconjunto de , decimos también que es un superconjunto de , lo que se escribe . Así pues
,
y también que:
,
significando que es superconjunto propio de .
Por el principio de identidad, es siempre cierto , para todo elemento , por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.
Vemos que es una relación de orden sobre un conjunto de conjuntos, pues
( es reflexiva)
( es antisimétrica)
( es transitiva)
Operaciones de conjuntos
Sean y dos conjuntos.
Unión
Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto que se denota como el cual contiene todos los elementos de A y de B. De manera más general, para cada conjunto S existe otro conjunto denotado como de manera que sus elementos son todos los tales que . De esta manera es el caso especial donde .
Es claro que el hecho de que un elemento x pertenezca a es condición necesaria y suficiente para afirmar que x es un elemento de A o al menos de B. Es decir
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
Los elementos comunes a y forman un conjunto denominado intersección de y , representado por . Es decir, es el conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B:
.
Si dos conjuntos y son tales que , entonces y se dice que son conjuntos disjuntos.
Es claro que el hecho de que es condición necesaria y suficiente para afirmar que y . Es decir
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
Particiones
Dado un conjunto A y una serie de subconjuntos Ai, se dice que Ai son particiones de A cuando la unión de todas es el conjunto A, y la intersección de todas es el conjunto vacío.
Diferencia
Los elementos de un conjunto que no se encuentran en otro conjunto , forman otro conjunto llamado diferencia de y , representado por . Es decir:
.
o dicho de otra manera:
Algunas personas prefieren denotar la diferencia de y como .
Una propiedad interesante de la diferencia es que
eso es porque
Ejemplos: Sin importar cual conjunto A elija usted, siempre se cumple
Complemento
El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto U pero no pertenecen a A, que lo representaremos por . Es decir
El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.
En vista de que y , entonces
,
de manera que
Pero también
de modo que
Diferencia simétrica
Los elementos de dos conjuntos,A y B a excepción de aquellos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos se define la diferencia simétrica.
Álgebra de conjuntos
Sean A, B, y C conjuntos cualesquiera y U un conjunto tal que , y entonces:
Elemento neutro de la unión
Elemento neutro de la intersección
Propiedad conmutativa de la intersección
Propiedad conmutativa de la unión
Propiedad de Involución.
Propiedad asociativa de la intersección
Propiedad asociativa de la unión
Propiedad distributiva de la intersección
Propiedad distributiva de la unión
La definición axiomática de la probabilidad es:
(Medida de la probabilidad) A una función
se le llama medida de la probabilidad si cumple las siguientes condiciones:
Si , entonces existe un valor , al que llamaremos probabilidad de S.
La probabilidad del suceso seguro (espacio muestral) es
.
Dada una sucesión numerable de sucesos disjuntos (mutuamente excluyentes dos a dos) , entonces:
A partir de estos axiomas, se pueden demostrar las siguientes propiedades de la probabilidad.
Teorema (Probabilidad del suceso imposible) La probabilidad del suceso imposible (conjunto vacío), es
Teorema (Suma finita) Para toda colección finita de sucesos disjuntos , se cumple:
Teorema (Probabilidad de la unión) Para todo par de sucesos y , se cumple:
En general, para una colección finita de sucesos , se tiene:
Teorema (Ordenación) Para todo par de sucesos que cumplen , entonces, se cumple:
Teorema (Cota) Para todo suceso , su probabilidad cumple
PROBABILIDAD
FRECUENCIA RELATIVA A LARGO PLAZO CON LA QUE OCURRE UN RESULTADO O EVENTO.
ESPACIO MUESTRAL.- Todos los posibles resultados de un experimento.
TIPOS DE EVENTOS
-Exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.
-No exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son no exhaustivos si no agotan todos los posibles resultados.
-Mutuamente exclusivos.- Eventos que no pueden ocurrir en forma simultánea.
-No mutuamente exclusivos.- Eventos que pueden ocurrir en forma simultánea.
-Independientes.- eventos cuya probabilidad no es afectada porque ocurran o no ocurran entre ellos.
-Dependientes.- Eventos cuya probabilidad cambia dependiendo de que ocurran o no ocurran entre si.
PROBABILIDADES CONJUNTAS.- Probabilidad de que 2 o mas eventos ocurran simultáneamente.
PROBABILIDADES MARGINALES.- o Probabilidades condicionales = suma de probabilidades.
PROBABILIDADES CONDICIONALES.- Probabilidad de A dada la existencia de S, que se escribe p(A/S).
VARIABLES ALEATEOREAS DISCRETAS.- Comprenden reglas o modelos de probabilidad para asignar o generar solo valores distintos (no mediciones fraccionarias).
DISTRIBUCION BINOMIAL.- Un modelo para la suma de una serie de n ensayos independientes, donde el ensayo resulta en un 0 (fracaso) o 1 (éxito).
RESEÑA HISTORICA DE LA TEORIA DE LAS PROBABILDADES,
El estudio científico de la probabilidad es un desarrollo moderno. Los juegos de azar muestran que ha habido un interés en cuantificar las ideas de la probabilidad durante milenios, pero las descripciones matemáticas exactas de utilidad en estos problemas sólo surgieron mucho después.
Según Richard Jeffrey, "Antes de la mitad del siglo XVII, el término 'probable' (en latín probable) significaba aprobable, y se aplicaba en ese sentido, unívocamente, a la opinión y a la acción. Una acción u opinión probable era una que las personas sensatas emprenderían o mantendrían, en las circunstancias."1
Aparte de algunas consideraciones elementales hechas por Girolamo Cardano en el siglo XVI, la doctrina de las probabilidades data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) le dio el tratamiento científico conocido más temprano al concepto. Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre trataron el tema como una rama de las matemáticas. Véase El surgimiento de la probabilidad (The Emergence of Probability) de Ian Hacking para una historia de los inicios del desarrollo del propio concepto de probabilidad matemática.
La teoría de la probabilidad es un campo de las matemáticas extremadamente rico en paradojas, verdades que chocan tan fuertemente con el sentido común, que son difíciles de creer aún después de habérsenos enfrentado con sus pruebas.
En 1654 el Caballero de Meré, jugador y Matemático aficionado propuso a Blas Pascal un problema relativo a las oportunidades de ganar en un juego de dados. Pascal comunicó el problema a Fermat, y de la correspondencia entre ambos surgió lo que después ha llegado a ser la moderna teoría de las probabilidades.
La teoría de conjuntos es de mucha utilidad en el desarrollo de las probabilidades, y es por ello que se debe revisar los conocimientos sobre las operaciones de conjuntos como lo son: la unión, la intersección, el complemento de un conjunto.
Consideraremos a W como el conjunto universal el cual posee todos los elementos posibles, así el conjunto A es un subconjunto de W si todos los elementos de A son elementos de W, y se denota:
A Ì W si para todo x ÎA, x Î W
TEORIA DE CONJUNTO: es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
Se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.
AXIOMAS DE LA TEORIA DE LAS PROBABILIDADES:
La definición axiomática de la probabilidad es quizás la más simple de todas las definiciones y la menos controvertida ya que está basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para dar una definición de probabilidad.
La ventaja de esta definición es que permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad. Fue introducida por A. N. Kolmogorov y aceptada por estadísticos y matemáticos en general.
Teoremas Elementales o Consecuencias de los Axiomas
Los siguientes resultados se deducen directamente de los axiomas de probabilidad.
Teorema I
Teorema II
Teorema III
Teorema IV
Teorema V
Teorema VI
Teorema VII
Teorema VIII
Con el sistema de axiomas demuestra que toda probabilidad puede ser expresada por un número real, y que está acotado inferiormente por cero. También considera el caso estudiado por Laplace en su “Teoría Analítica”, y comprueba que puede considerarse como un caso particular. Para ello considera el conjunto finito: q1, q2, ..., qn de todas las alternativas incompatibles deducibles de una proposición p, y dos subconjuntos A y B formados, respectivamente, por a y b elementos; entonces, se verifica que:
P(A/p) / P(B/p) = a/b
Si B es el conjunto de todas las alternativas incompatibles y exhaustivas, deducibles de p, entonces B es implicado por p, y de aquí que:
P(B/p) = 1 ; P(A/p) = a/n
Siendo n el número de alternativas posibles. Es decir, se verifica la regla clásica de Laplace: “Número de casos favorables dividido por el número de casos posibles”. A esta probabilidad se le puede llamar R-probabilidad, ya que viene dada por un número racional.
DEFINICION DE PROBABILIDAD: es la que mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.
EVENTOS:
Los eventos son subconjuntos del espacio muestral
Ejemplo #1:
Lanzar un dado = {1,2,3,4,5,6}
Se pide el evento E1 sale numero par
El = {2,4,6}
Eventos Independientes: Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.
Ejemplo: lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.
Eventos dependientes: Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió. Se debe tener claro que A|B no es una fracción.
P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)
TIPOS DE EVENTOS:
•Un evento elemental es un subconjunto .
•Un evento compuesto es un subconjunto .
•Los eventos triviales son el conjunto universal Ω y el conjunto vacío. Al primero se le llama también evento seguro, y al segundo, evento imposible.
•Sean dos eventos A y B, si ambos son conjuntos disjuntos, entonces ellos son eventos excluyentes.
•Un evento con elementos infinitos pero numerables se llama σ-álgebra (sigma-álgebra), y un evento con elementos finitos se llama álgebra de sucesos de Boole.
Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:
1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}
2. Obtener un número primo y par B = {2}
3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}
Eventos mutuamente excluyentes.- Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto
B C =
Eventos Complementarios.- Si A B = y A B = E, se dice que A y B son
eventos complementarios: Ac = B y
Bc = A
ESPACIO MUESTRAL: Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.
Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale cara, sale sello} ó E = {c, s}.
Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es
E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6}
ó E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es
E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.
Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}
SUBESPACIO MUESTRAL:
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:
Eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes: Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).
Ejemplo: Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.
Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.
Ejemplo: Si consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un seis, estos eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.
PROBABILIDAD CONDICIONAL:
Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B.
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.
Dado un espacio de probabilidad (Ω,F,P) y dos eventos (o sucesos) con P(B) > 0, la probabilidad condicional de A dado B esta definida como:
TEOREMA DE BAYES:
Enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
Sea {A1,A2,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos incompatibles cuya unión es el conjunto total y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B|Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai|B) viene dada por la expresión:
Donde:
P(Ai) son las probabilidades a priori.
P(B|Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.
P(Ai|B) son las probabilidades a posteriori.
i = 1, ..., n.Esto se cumple
El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permite revisar esas estimaciones en función de la evidencia, lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Como observación, se tiene que:
y su demostración resulta trivial.
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de variables que emplea.
INDEPENDENCIA ESTADISTICA:
En estadística intuitivamente dos sucesos son independientes cuando el que haya ocurrido uno de ellos no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro. Entonces existirá independencia estadística entre ambos sucesos.
Condición necesaria y suficiente de independencia
Sean A y B dos sucesos cualesquiera. Entonces:
A y B son independientes si y solo si
REGLAS DE CONTEO:
Técnicas de Conteo
Debes recordar la regla principal en las Técnicas de Conteo como lo es la ley de multiplicación:
Si se tienen n elementos de un tipo y m de otro, el número de parejas que se pueden formar tomando un elemento de cada tipo es
mxn.
Las permutaciones, las variaciones y las combinaciones, resultan de la regla de multiplicación.
SUMA:
Reglas de la Adición
La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a:
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B) si A y B son no excluyentes
Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A
P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B
P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B
MULTIPLICACION:
Reglas de Multiplicación
Se relacionan con la determinación de la ocurrencia de conjunta de dos o más eventos. Es decir la intersección entre los conjuntos de los posibles valores de A y los valores de B, esto quiere decir que la probabilidad de que ocurran conjuntamente los eventos A y B es:
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes
P(A y B) = P(A B) = P(B)P(A|B) si A y B son dependientes
PERMUTACION: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. 2.3.4 combinaciones 1 Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden. n C r = n!
r! (n – r )!
VARIACION Y COMBINACION: una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. 2.3.5 teorema d el binomio 1 el teorema del binomio esta dado por el principio de que toda palabra tiene su inverso como por ejemplo bueno= malo, bonito= feo, etc
Tenemos un ejemplo donde estamos utilizando dos variales independientes X y Y suponiendo que X es bueno y Y es malo. para n=2, n=3, n=4:
Son casos especiales de ordenamientos sin reemplazo, pero en una combinación si importa el orden de los elementos es decir, si un arreglo ya salió no puede volver a salir en cualquier orden.
Se definen las combinaciones de un conjunto de n elementos tomados de r en r elementos, como los ordenamientos sin reemplazo de los n elementos del conjunto tomado de r en r, multiplicados por el inverso multiplicativo de las permutaciones de r elementos, es decir:
TABLA DE CONTIGENCIAS: En estadística las tablas de contingencia se emplean para registrar y analizar la relación entre dos o más variables, habitualmente de naturaleza cualitativa -nominales u ordinales-.
DIAGRAMA DE ARBOL:
CUADRO DE LA ESTRUCTURA DE TEORIA DE LAS PROBABILIDADES.
Probabilidades:
Variables aleatorias,
Axiomas de probabilidades,
Distribuciones de probabilidad,
Modelos especiales de probabilidad,
Convergencia.
Probabilidad
El nacimiento del cálculo de probabilidades estuvo ligado a los juegos de azar. Cardano (que tenía una afición desordenada por el ajedrez y los dados, según reconoce en su autobiografía) escribió “Libro sobre los juegos de azar”, publicado póstumamente en 1663, y que fue considerado el primer tratado serio sobre las probabilidades matemáticas. La correspondencia que Pascal y Fermat intercambiaron ( a mediados del siglo XVII) sobre la geometría del azar marca el nacimiento de la nueva ciencia.
En la actualidad el Cálculo de Probabilidades ha llegado a ser la rama de las matemáticas de mayor penetración en todos los campos, directamente o a través de la Estadística.
1. Experimento aleatorio. Espacio muestral.
Definición 1. Se llama experimento o fenómeno aleatorio a aquél que es susceptible de dar varios resultados, no pudiéndose predecir de antemano cuál de ellos va a producirse en una experiencia concreta.
Cada ejecución del experimento se llama una prueba del mismo.
Ejemplo 1: Lanzar un dado o una moneda al aire son experimentos aleatorios.
Se llama experimento determinista al que realizado en la mismas condiciones se obtiene siempre el mismo resultado (de éstos se ocupa la Física).
Definición 2. Llamaremos suceso elemental a cada uno de los posibles resultados del experimento aleatorio.
Ejemplo 2: En el experimento “lanzar un dado” los sucesos elementales son 6. S1 = “sacar un 1”,.........., S6 = “sacar un 6”.
Definición 3. Se llama espacio probabilístico o espacio muestral, E, al conjunto de todos sus sucesos elementales.
Ejemplo 3: En el experimento lanzar una moneda el espacio muestral tiene dos elementos, :E = C, F.
Ejercicio 1. Encuentra el espacio muestral del experimento lanzar dos monedas.
Definición 4. Se llama suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral.
Diremos que un suceso, A, ocurre (o se verifica) en una prueba si el resultado de la misma es uno de los sucesos elementales que pertenecen a A.
Ejemplo 4: El suceso A = sacar par al lanzar un dado (A= S2, S4, S6 ) se verifica si sale un dos, un cuatro o un seis.
Ejemplo 5. Si tiramos dos monedas al aire sea A = “al menos una sea cara”. El suceso A consta de tres sucesos elementales a saber CC, CF y FC.
En todo espacio muestral podemos distinguir los siguientes sucesos:
Sucesos elementales, los subconjuntos con un solo elemento.
Suceso seguro, E, el propio espacio muestral.
Suceso imposible, , que no posee ningún suceso elemental (no puede verificarse).
Teniendo en cuenta que los sucesos son subconjuntos se suelen usar los diagramas de Venn para representarlos.
2. Operaciones con sucesos
Teniendo en cuenta que los sucesos son subconjuntos se definen la:
Unión de sucesos.
Se llamará unión de dos sucesos A y B al que se verifica cuando en una prueba el resultado es un elemento de A o de B (o de ambos). Se representa AB (corresponde a la unión conjuntista).
Ejemplo 9. En la figura 2 el suceso AB tiene a + c + b elementos.
Intersección de sucesos.
Llamaremos suceso intersección de A y B al que ocurre cuando el resultado de una prueba es un elemento de ambos. Se representa A B (corresponde a la intersección conjuntista).
Ejemplo 10. En la figura 2 el suceso intersección tiene c elementos.
Diferencia de sucesos.
Si A y B son dos sucesos se define su diferencia como: A - B = A Bc.
Se verifica pues: Ac = E - A.
Ejemplo 11. En la figura 2., A - B tiene a elementos.
Definición 6. Dos sucesos A y B se dice que son incompatibles si tienen intersección vacía. En otro caso se dirán compatibles.
Ejemplo 12. Cualquier suceso A y su contrario son incompatibles.
Ejemplo 13. Si extraemos dos cartas de una baraja española (40 cartas) los sucesos:
A = “ las dos sean copas” y B = “ una sea copas y la otra rey” son compatibles.
Problema 1. En una determinada población el 50% ha estado casado alguna vez, el 50% tiene menos de 70 años y el 80% no padece ninguna enfermedad contagiosa. De estos últimos el 60% tiene menos de 70 años y el 40% ha estado casado alguna vez. De los que han estado casados alguna vez, sólo el 20% tiene menos de 70 años. El 10% de la población reúne las tres condiciones. Representar la información anterior en un diagrama de Venn.
Solución
(Por comodidad en la representación consideramos que la población tiene 100 personas)
Sea C el conjunto de los que han estado casados alguna vez.
“ B “ tienen menos de 70 años.
“ E “ no padecen enfermedad contagiosa.
card ( C ) = 50% de la población; card (E) = 80%; card (B) =50%:
card (E B) = 48%; card (E C) = 32%; card (C B) = 10%;
card (C E B) = 10%
Ejercicio 1. Calcula el porcentaje de individuos que no habiendo estado casados nunca, tengan menos de 70 años y no padecen enfermedad contagiosa.
Indicación : es el cardinal de Cc B E (Sol. 38%)
3. Espacio probabilístico asociado a un experimento aleatorio.
Idea intuitiva de probabilidad
• Al realizar N pruebas de un experimento aleatorio se llama frecuencia absoluta del suceso A, n(A), al nº de veces que se ha verificado A.
La frecuencia relativa de un suceso A se define como el cociente entre su frecuencia absoluta y el nº total de pruebas, es decir:
Ejercicio 2. Lanzar un dado 30 veces y calcula las frecuencia relativa del suceso obtener un 6.
Propiedades:
1) La frecuencia relativa de cualquier suceso, A, es un nº racional del intervalo [0,1, es decir 0 f(A) 1
2) f(E) = 1, la frecuencia relativa del suceso seguro es 1.
3) Si A B = f (A B) = f(A) + f(B), es decir si dos sucesos son incompatibles la frecuencia relativa de su unión es la suma de sus frecuencias relativas.
La comprobación es inmediata.
Cuando se realiza un nº muy grande de pruebas puede comprobarse que la frecuencia relativa de uno cualquiera de los sucesos tiende a estabilizarse. Esto quiere decir que la frecuencia relativa toma valores próximos a un nº fijo, y que según aumenta el nº de pruebas más se acerca a ese valor. A dicho valor es al que llamaremos la probabilidad[1] de A, p(A)
p(A) = (probabilidad a posteriori).
Esta forma de asignar probabilidades tiene el inconveniente de puede variar de unas series a otras, a pesar de la estabilidad de las frecuencias.
Otra forma consiste en asignar una probabilidad a priori cuando se cumpla el postulado de indiferencia o ley de la ignorancia[2].
Ejemplo 14. Si el experimento es lanzar un dado, que no esté trucado, se cumple dicho postulado, a cada resultado se le asigna como probabilidad a priori el valor 1/6.
Probabilidad de Laplace
Cuando se pueda asegurar que se cumple el postulado de indiferencia, es decir que todos los sucesos elementales sean igualmente posibles, se define:
p(A) =Número de casos favorables a A
Número de caso posibles
Se conoce como la Regla de Laplace, el nº obtenido es la probabilidad a priori o de Laplace.
Ejemplo 15. Consideremos el experimento lanzar dos monedas al aire. Vamos a calcular la probabilidad del suceso, A, sacar una cara y una cruz.
El espacio muestral consta de cuatro sucesos elementales igualmente “probables”:
CC, CF, FC y FF, luego p(A) =2/4 =1/2.
Ejercicio 3. Calcula la probabilidad de obtener dos 6 al lanzar dos dados.
Definición axiomática de probabilidad
Sea A un álgebra de Boole asociada a un experimento del espacio muestral E, teniendo en cuenta las propiedades de la frecuencia relativa se define:
Definición 7. Se llama probabilidad a una aplicación p: P(E) [0,1
A p(A)
que cumple las siguientes condiciones, llamadas axiomas de probabilidad:
I. p (E) = 1.
II. Si A y B son incompatibles p(A B) = p(A) + p(B)
A la terna (E, A, p) se le llama espacio probabilístico asociado al experimento en cuestión.
Ejercicio 4. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar dos dados la suma de puntos obtenidos sea 10?.
Consecuencias de los axiomas de probabilidad
1) p(Ac ) = 1 - p(A)
Ejemplo 16. De una baraja de 40 cartas extraemos dos cartas a la vez., ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea copas?.
Solución . Sea A el suceso “ al extraer dos cartas al menos una es copas”
Pasamos al contrario, Ac , es decir calculamos la probabilidad de que ninguna sea copas.
Sucesos posibles: , que son todos los grupos de 2 cartas que se pueden sacar.
Sucesos favorables: pues hay 30 cartas que no son copas.
Por la regla de Laplace tenemos: p(Ac ) = = 0,56 p(A) = 1 - 0,56 = 0,44
2) p() = 0 .
3) Si A B p(A) p(B).
4) Si A y B son sucesos compatibles: p(A B) = p(A) + p(B) - p(A B)
Ejemplo 17. Calcular la probabilidad de obtener un as ó una copa al extraer una carta de una baraja española.
Solución : p(as ó copas ) = 1/10 + 1/4 - 1/40 = 13/40.
Ejercicio 5. En una baraja hemos suprimido varias cartas. Entre las cartas que nos quedan se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas: p(R) = 0,15, p(B) = 0,3, p(carta que no sea ni rey ni basto) = 0,6. ¿Está entre ellas el rey de bastos?. En caso afirmativo calcula su probabilidad.
Nota. El resultado puede generalizarse a 3 o más sucesos.
En particular si A, B y C son tres sucesos compatibles se verifica:
p(A B C) = p(A) + p(B) + p(C) - p(A B) - p(AC) - p(BC) + p(A BC)
(1)
Problema 2. En una determinada población, el 70% son aficionados al fútbol, el 60% al tenis y el 65% al baloncesto. El 45% lo son al fútbol y al tenis, el 40% al tenis y al baloncesto y el 50% al futbol y al baloncesto, mientras que el 30% lo son a los tres deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo escogido al azar no sea aficionado a ninguno de los tres deportes?
Solución
Pasamos al contrario, es decir calculamos en primer lugar la probabilidad de que sea aficionado al menos a uno de los tres.
p( FTB) [3] = 0,70 + 0,60 + 0,65 - 0,45 - 0,40 - 0,50 + 0,30 = 0,90
Por lo tanto p(“no sea aficionado a ningún deporte de los tres”) = 1 - 0,90 = 0,10.
Ejercicio 6. Resolver el problema 2 usando diagramas de Venn.
3. Probabilidad condicionada. Sucesos independientes.
Muchas veces la probabilidad de que ocurra un suceso viene influida por el hecho de que ocurra o no otro suceso, o por una información adicional.
Ejemplo 18. Supongamos un dado cuyas caras pares son de color negro y las impares de color rojo.
La probabilidad de los sucesos elementales, en principio, es 1/6; pero si en el lanzamiento se nos informa que la cara obtenida es de color negro, sin decirnos el resultado, entonces la probabilidad cambia: la de los impares sería cero y la de los pares 1/3.
Esto nos dice que hemos pasado a otro espacio probabilístico donde no se cumple el postulado de indiferencia.
En general, si A y B son dos sucesos del álgebra de sucesos, se define la probabilidad condicionada del suceso A sobre el B como la probabilidad de que ocurra A habiendo sucedido antes B:
Definición 8. Sea B un suceso tal que p(B) 0; para cualquier suceso A llamaremos probabilidad de A condicionada a B:
p(A/B) =
Observación 1
La aplicación pB así definida es una probabilidad en la que el espacio muestral E se puede considerar reducido al suceso B como consecuencia de la información sobre el experimento aleatorio.
En efecto: p(A/B) = =
Ejemplo 19. En una determinada localidad hay tres partidos políticos: PP, PSOE e IU. Se efectúa un referéndum para decidir si un cierto día se declara fiesta local. La siguiente tabla nos da los resultados en % en función del partido al que votó cada ciudadano en las últimas elecciones:
PP PSOE IU Abs
Sí 25 20 8 12
No 15 10 2 8
a) ¿Qué probabilidad hay de que una persona tomada al azar haya votado Sí en el referéndum?
b) Calcular la probabilidad de que un individuo sea del PP sabiendo que ha votado sí.
Solución:
En primer lugar completamos la tabla con las sumas parciales:
PP PSOE IU Abs
Sí 25 20 8 12 65
No 15 10 2 8 35
40 30 10 20 100
a) p( Sí ) = 0,65; b) p( PP/Sí ) = 25/65 = 0,38.
Ejemplo 20. En una clase de COU el 45% de los estudiantes suspende Matemáticas, el 60% suspende física y el 30% suspende ambas. Se selecciona al azar un alumno:
a) Si suspendió Física ¿Cuál es la probabilidad de que suspendiera Matemáticas?
b) Si suspendió Matemáticas “ “ Física?
Solución
Sea A = “suspende Matemáticas” y B = “ suspende Física”
p(A) = 0,45; p(B) = 0,60 ; p(A B) = 0,30
a) p(A/B) = 0,30/0,60 =1/2; p(B/A) = 0,30/0,45 = 2/3
Consecuencia: De la definición de probabilidad condicionada se deduce:
p(A B) = p(B).p(A/B)
Esta expresión se conoce como la fórmula de la probabilidad compuesta.
Ejemplo 21. Calcular la probabilidad de que al extrer dos cartas de una baraja la 1ª sea copas y la 2ª bastos.
Solución p( 1ªC, 2ªB) = p(1ªC). p(2ªB/1ªC) =
Nota: La fórmula [2 puede generalizarse a tres o más sucesos. En el caso de tres se obtiene:
p(A B C) = p(A). p(B/A). p(C/ A B)
Ejemplo 22. En una urna hay 3 bolas blancas , 5 rojas y 4 negras. Se extraen tres bolas consecutivamente, sin reemplazamiento. Calcular la probabilidad de que las tres sean rojas
Solución
p(1ªR, 2ªR, 3ªR)=
Observación 2.
Hay ocasiones en que las pruebas no son sucesivas sino simultáneas, lanzar dos dados, extraer tres cartas de una baraja etc.... Se pueden encontrar muchos casos en que se pueden considerar como si se sucedieran en el tiempo, lo que facilita el cálculo de sus probabilidades.
Ejemplo 23. Supongamos que tenemos una urna con 5 bolas rojas y 4 bolas negras y que extraemos dos bolas, esto lo podemos hacer de tres formas:
1º) con reemplazamiento. La primera que se extrae se devuelve a la urna.
2º) sin reemplazamiento. no se devuelve “
3º) simultáneamente. Las dos a la vez.
Vamos a calcular la probabilidad de que las dos sean rojas.
1º) p(1ªR, 2ªR) = con reemplamiento; 2º) p(1ªR, 2ªR) = sin reemplazamiento;
3º) p(las dos rojas) = a la vez.
Observamos que en los caso 2º y 3º la probabilidad es la misma y su cálculo más sencillo considerando extracciones sucesivas.
Veamos para otro suceso.
Si queremos calcular la probabilidad de que al extraer dos bolas una sea roja y la otra negra:
A la vez.
p(una roja y otra negra) = =
Sin reemplazamiento.
Est suceso es la unión de RN y NR, ya el orden no importa. Son incompatibles:
p (una roja y otra negra) = p(RN) + p(NR) = , luego coinciden de nuevo.
Podemos concluir que en determinados casos simultáneamente “equivale “ a extracciones sucesivas sin reemplazamiento.
Ejercicio 7. Resolver el ejemplo 16 utilizando la conclusión anterior.
Problema 3. Una urna contiene 8 blancas y 7 negras, hacemos una extracción de 2 bolas, en el supuesto de que hemos visto que una de estas bolas es negra. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra también lo sea?
Solución
Sea el suceso A = “al extraer dos bolas, al menos una sea negra”
“ B = “al extraer dos bolas, las dos sean negras”
Se verifica B A, luego A B = B y p (B) = ;
p(A) = 1- p(Ac) = 1 - ;
La probabilidad pedida es: p(B/A)=
Independencia de sucesos
Definición 9. Se dice que un suceso A es independiente de otro B cuando:
p(A/B) = P(A)
En otro caso se dirá que son dependientes.
Consecuencias: Si A es independiente de B
• p(A B) = p(A).p(B) . Por [2
• B es independiente de A. Teniendo en cuenta lo anterior es trivial.
• Ac es independiente de B. (comprobarlo)
• E y son independientes de cualquier suceso.
Observaciones:
1) Si los sucesos son incompatibles no pueden ser independientes, pues p(A B)=0.
2) Para hablar de independencia de dos sucesos A y B ha de tenerse que A B y B A (a excepción de E y ) En efecto si, por ejemplo, B contenido en A p(A/B) =1, y p(A B) = p(B) p(A).p(B).
4. Experimentos compuestos. Teorema de Bayes
En un experimento aleatorio hay que considerar las condiciones en que se hace el experimento y los resultados posibles del mismo. A veces se consideran varios experimentos sucesivos y las condiciones de cada uno pueden ser o no influidas por los resultados del precedente. Tenemos así una primera idea intuitiva de dependencia e independencia de experimentos aleatorios.
Hasta aquí nos habíamos referido a la dependencia e independencia de sucesos relativos a un mismo espacio probabilístico (E1, A1, , p1). Supongamos ahora definido un segundo experimento que da origen al espacio (E2, A2 , p2), llamaremos espacio producto cartesiano E1x E2 al formado a partir de los m.n sucesos elementales:
(Ai, Bj) (i = 1, 2, ........., n ; j = 1, 2, ........, m )
Podremos definir una probabilidad para E1x E2 de la forma siguiente:
Si no se pueden considerar los experimentos como físicamente independientes, se calcularán las probabilidades de los sucesos del producto cartesiano por la relación:
p(Ai, Bj) = p1(Ai)p2(Bj/Ai)
Si se pueden considerar independientes se tendrá:
p(Ai, Bj) = p1(Ai)p2(Bj)
Tendremos, pues, el espacio probabilístico (E1x E2, A, p)
Nota. En la práctica se identifica el suceso (A, B) con el suceso ocurrir A y B (AB).
Diagramas de árbol
Cuando se quiere calcular la probabilidad de sucesos de experimentos compuestos son muy útiles los diagramas de árbol cuyas ramas nos indican las distintas posibilidades.
Teorema 1. Sea A1, A2, ..........., An un sistema exhaustivo del que se conocen sus probabilidades a priori, p(Ai). Sea B otro suceso para el cual se conocen las probabilidades condicionadas, p(B/Ai).
Teorema de Bayes
Supongamos que en las circunstancias del ejemplo 29 nos planteamos ahora lo siguiente: Sabiendo que ha salido bola blanca ¿Cuál es la probabilidad de que haya salido cara? Es decir queremos calcular p(A1/B).
Se tiene p(A1B) = p(A1).p(B/ A1), pero también p(A1B) = p(B).p(A1/B) , luego
p(A1).p(B/ A1) =p(B).p(A1/B)
Espacio muestral (E): es el conjunto de los diferentes resultados que pueden darse en un experimento aleatorio.
Suceso: subconjunto del espacio muestral. Se representa con una letra mayúscula, con sus elementos entre llaves y separados por comas.
Operaciones con sucesos:
Unión: la unión de dos sucesos es el suceso que ocurre cuando se da uno de ellos. Intersección: la intersección dos sucesos es el suceso que ocurre cuando se dan ambos a la vez.
Tipos de sucesos:
Suceso Seguro: se tiene la certeza de que se producirá porque contiene todos los resultados posibles de la experiencia (coincide con el espacio muestral).
Suceso Imposible: se tiene la certeza de que nunca se puede presentar, ya que no tiene elementos (es el conjunto vacío).
Suceso Contrario de A: es el que ocurre cuando no se da A; es su complementario respecto al espacio muestral (A’).
Suceso Elemental: es el que tiene un solo resultado, es un conjunto unitario.
Sucesos incompatibles: la intersección es conjunto vacío, es decir, no pueden los dos sucesos darse al mismo tiempo.
Sucesos Compatibles: la intersección de dos sucesos contiene algún elemento.
Toda situación o experimento se puede clasificar en:
a) Aquellos en los cuales en igualdad de condiciones ocurren siempre de la misma manera, se conocen como: Experimento Deterministico
b) Aquellos donde el resultado no siempre ocurre de la misma manera se conocen como: Experimentos Aleatorios
Los eventos son subconjuntos del espacio muestral
Ejemplo #1:
Lanzar un dado = {1,2,3,4,5,6}
Se pide el evento E1 sale numero par
El = {2,4,6}
Ejemplo #2: Lanzar una moneda 2 veces.
= {A1A2,A1S1,A1S2,S1S2}
Se pide el evento E1 sale aguila.
El = {AIA2,AIS1,AIS2}
Se pide evento E2 donde sale solo 1 aguila.
E2 = {AIS1,AIS2}
Evento E3 no sale sol.
E3 = {A1A2}
Evento E4 salen puras aguilas.
E4 ={ A1A2 }
Eventos mutuamente excluyentes.- Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto
B C =
BUENAS NOCHES PROFE, ESTE ES MI ANALICIS. DE VERDAD ESTUBE REPASANDO PERO ME CONFUNDO, AQUI LE MANDO UNA BREVE INFORMACION Y UNOS EJEMPLOS QUE ESTUBE ANALIZANDO:
PARA SABER QUE ES LA TEORIA DE CONJUNTOS ES IMPORTANTE CONOCER EL CONCEPTO DE TEORIA Y PROBABILIDAD.
A)TEORIA:En ambos casos la respuesta es clara: ... todo depende. Depende de cuantas cartas tiene cada oponente y cual de ellos tiene la dama. Ahora que, si supiéramos esto, no tendríamos problema y cartearíamos todas las manos de manera óptima.
Pero la realidad es distinta. Solo en contadas ocasiones obtenemos, por medio del canto, de la salida inicial, de los descartes o de las señales defensivas, información certera sobre la repartición de las cartas. En la mayoría de las situaciones debemos actuar pensando que las cartas se comportarán en la forma más NORMAL de acuerdo a la repartición más PROBABLE.
Tenemos todos una noción intuitiva de la probabilidad. Sabemos que al repartir la baraja nadie recibirá una mano con 13 corazones: es prácticamente imposible (o "muy improbable ") que esto suceda. Sabemos también que si nuestra mano contiene 13 puntos, es muy posible (o "muy probable") que tengamos mas puntos que los oponentes por lo que debemos abrir el canto. Basados en esa misma intuición, podemos suponer que aquel jugador más largo en un palo es quien tiene la Dama que buscamos.
B)¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD?
Para intentar definir lo que es la probabilidad, reflexionemos sobre algunas situaciones usuales:
Si llegando a un casino, nos detenemos unos momentos a observar la ruleta, y notamos que el color rojo gana en forma consecutiva en 10 ocasiones, ¿a qué color apostaremos enseguida? ¿al negro por que ya le toca? ¿al rojo porque está de suerte? y si llega alguien más en ese momento y apuesta a algún color, ¿cambiará su probabilidad de éxito si le decimos que el rojo ha ganado 10 veces?
¿Compraríamos un billete de lotería cuyo número fuera 333333? ¿Nos sentiremos defraudados si es premiado el 123456? ¿No tienen estos números la misma oportunidad de ganar que el 916593 o cualquier otro?
Si en una rifa tenemos el boleto n° "015", y el maestro de ceremonias anuncia "el número ganador empieza con 01", ¿habremos tenido mayor posibilidad de ganar que si se anuncia directamente el número ganador?
Sin saber realmente que es la probabilidad, sabemos que se debe poder medir, dado que decimos que algo es MAS o MENOS probable, MUY probable o POCO probable.
Más aún, sabemos que una probabilidad puede convertirse en certeza (su mayor valor) o resultar nula (su menor valor). Si llegamos a determinar que un jugador está fallo en un palo, la probabilidad que tenga la Dama se vuelve nula mientras que la probabilidad que la tenga su compañero se vuelve una certeza.
¿Qué es entonces la probabilidad? Les propongo la siguiente definición:
"La probabilidad de un evento es el GRADO DE CONFIANZA que tengo sobre la ocurrencia de dicho evento".
Y si aceptamos que el máximo grado de confianza sea la certeza, podemos refrasear como sigue:
"La PROBABILIDAD de un evento es el GRADO de CERTEZA que tengo de que el evento ocurra".
¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD?
Para intentar definir lo que es la probabilidad, reflexionemos sobre algunas situaciones usuales:
Si llegando a un casino, nos detenemos unos momentos a observar la ruleta, y notamos que el color rojo gana en forma consecutiva en 10 ocasiones, ¿a qué color apostaremos enseguida? ¿al negro por que ya le toca? ¿al rojo porque está de suerte? y si llega alguien más en ese momento y apuesta a algún color, ¿cambiará su probabilidad de éxito si le decimos que el rojo ha ganado 10 veces?
¿Compraríamos un billete de lotería cuyo número fuera 333333? ¿Nos sentiremos defraudados si es premiado el 123456? ¿No tienen estos números la misma oportunidad de ganar que el 916593 o cualquier otro?
Si en una rifa tenemos el boleto n° "015", y el maestro de ceremonias anuncia "el número ganador empieza con 01", ¿habremos tenido mayor posibilidad de ganar que si se anuncia directamente el número ganador?
Sin saber realmente que es la probabilidad, sabemos que se debe poder medir, dado que decimos que algo es MAS o MENOS probable, MUY probable o POCO probable.
Más aún, sabemos que una probabilidad puede convertirse en certeza (su mayor valor) o resultar nula (su menor valor). Si llegamos a determinar que un jugador está fallo en un palo, la probabilidad que tenga la Dama se vuelve nula mientras que la probabilidad que la tenga su compañero se vuelve una certeza.
¿Qué es entonces la probabilidad? Les propongo la siguiente definición:
"La probabilidad de un evento es el GRADO DE CONFIANZA que tengo sobre la ocurrencia de dicho evento".
Y si aceptamos que el máximo grado de confianza sea la certeza, podemos refrasear como sigue:
"La PROBABILIDAD de un evento es el GRADO de CERTEZA que tengo de que el evento ocurra".
bueno estos son unos ejemplos que estube analizando. sinceramente no los entendi muy bien pero los analice:
Al lanzar dos dados simultáneamente, ¿cual es la probabilidad de que salga Doble 1?
Respuesta : Denotemos por "13" el caso en que el primer dado cae con "1" y el segundo con "3", mientras que "31" es el caso en que el primer dado cae con "3" y el segundo con "1". El primer dado puede tomar seis valores ("1" a "6"). Para cada uno de estos, el segundo dado puede tomar otros seis (también "1" a "6"). Por lo que hay 6 veces 6 = 36 casos totales. Podemos enumerarlos si requerimos mayor claridad:
Casos Totales = "11","12"13,"14","15","16", = 36 casos
"21","22"23,"24","25","26",
"31","32"33,"34","35","36",
"41","42"43,"44","45","46",
"51","52"53,"54","55","56",
"61","62"63,"64","65","66"
Casos Favorables = Evento "11" = 1 caso
La probabilidad buscada es pues 1/36 = 0.28
Al lanzar dos dados simultáneamente, ¿cual es la probabilidad de que salga un doble?
Respuesta : Casos Totales = "11","12"13,...,"65","66",= 36 casos Casos Favorables = Eventos "11","22","33","44","55",66" = 6 casos
La probabilidad buscada es pues 6/36 = 1/6 = 0.17
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ÍA:
PROFE!!! AQUI ESTA LO QUE FALTA..... JAJAJA... Y LO QUE VENDRA....
LA PROBABILIDAD CONDICIONAL
¿ Cuál es la probabilidad de que ocurra un evento, dado que ya ocurrió alguno otro?
Por ejemplo, si al lanzar repetidamente una moneda al aire cae "cruz" cinco veces consecutivas ¿ cual es la probabilidad de que caiga nuevamente "cruz" en el siguiente lanzamiento? Esto es, ¿cuál es la probabilidad de que caiga "cruz" seis veces consecutivas, dado que ya ocurrió que cayera cinco veces consecutivas?
La Teoría de Probabilidades nos dice que la probabilidad del evento A dado que ocurrió el evento B es igual a la probabilidad del evento en que A y B ocurren dividida entre la probabilidad del evento B. Esto se formula como:
P( A|B ) = P( A y B ) / P( B )
En nuestro ejemplo,
A es el evento "6 veces cruz"
B es el evento "5 veces cruz"
A y B es el evento en que ocurren A y B, y es igual a "6 veces cruz" (si salió 6 veces es que salió 5)
P(A) =1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/26 = 1/64
P(B) =1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/25= 1/32
P(A y B) = 1/26= 1/64
Entonces
P(A|B) = P(A y B) / P(B) =(1/26) / (1/25) = 25/26 = 32/64 = 1/2
Esto significa que la probabilidad de caer "cruz" en el siguiente lanzamiento sigue siendo 1/2 aunque haya caído ya 5 veces consecutivas. El resultado del siguiente lanzamiento no depende del resultado de los anteriores. ¡¡¡ El azar NO TIENE MEMORIA !!!
Llevemos mas lejos el razonamiento: es poco probable que caiga "cruz" 6 veces consecutivas (P(A) = 1/64 = 0.016); pero si ya cayó 5 veces "cruz" (lo cual tampoco era muy probable), es tan probable que caiga una 6ª vez "cruz" como lo es que ahora caiga "cara".
Los eventos son subconjuntos del espacio muestral
Ejemplo #1:
Lanzar un dado = {1,2,3,4,5,6}
Se pide el evento E1 sale numero par
El = {2,4,6}
Ejemplo #2: Lanzar una moneda 2 veces.
= {A1A2,A1S1,A1S2,S1S2}
Se pide el evento E1 sale aguila.
El = {AIA2,AIS1,AIS2}
Se pide evento E2 donde sale solo 1 aguila.
E2 = {AIS1,AIS2}
Evento E3 no sale sol.
E3 = {A1A2}
Evento E4 salen puras aguilas.
E4 ={ A1A2 }
Eventos mutuamente excluyentes.- Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto
B C =
BUENO PROFE LA VERDAD QUE DE LOS EVENTOS NO ENTIENDO..... QUE PASE BUENAS NOCHES
BUENO PROFE AQUI TIENE OTRO EJEMPLO MEJOR DE LOS EVENTOS.
A)Tipos de eventos
Un evento se denomina cierto si ocurre siempre, siendo igual al espacio muestral. Por lo tanto su probabilidad es 1.
Un evento se denomina imposible si no puede ocurrir. Por lo tanto, su probabilidad es 0.
Dos eventos se denominan complementarios cuando su unión da el espacio muestral y su intersección es vacía. La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es igual a 1.
Se denomina Ac al evento complementario del evento A. Por ejemplo, la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 al tirar un dado es , y la probabilidad de no obtener un múltiplo de 3 será de .
A) Propiedades de la probabilidad
Sea A un evento, entonces la probabilidad de este evento cumple las siguientes propiedades:
(1) 0 ≤P(A)≤ 1
(2) P(A Ac) = 1
Ejemplo:
1. Si se tiran dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea mayor que 8?
Los casos favorables son los siguientes: (3,6), (6,3), (4,5), (5,4), (5,5), (4,6), (6,4), (5,6), (6,5) y (6,6).
Por lo tanto, los casos favorables son 10 y los casos totales son 36, entonces,
2. Según la ruleta dada en la figura adjunta, ¿cuál es la probabilidad de que salga el color amarillo?
A la zona amarilla le corresponde un ángulo central de 360° – 60° – 140° = 160°.
Al total de casos le corresponden 360°.
Por lo tanto, la probabilidad de que salga la zona amarilla es:
3. En una caja hay dos bolitas negras y seis verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola al azar, esta sea verde?
Los casos favorables son 6 y los totales son 8, por lo tanto, la probabilidad es:
4. En una caja hay bolitas rojas y negras. La probabilidad de sacar una roja es 3/5 y se sabe que hay 12 bolitas negras. ¿Cuántas bolitas hay en total?
Como la probabilidad de sacar una roja es 3/5, se deduce que la probabilidad de sacar una negra es 2/5 (evento complementario). Por lo tanto, los 2/5 de las bolitas de la caja deben ser negras.
Si x es el número total de bolitas, tenemos la ecuación:
Por lo tanto, hay un total de 30 bolitas en la caja.
ES COMO QUE MAS PRACTICO ESTE EJEMPLO
VICTOR ALVAREZ
ADMINISTRACION DE DESASTRE
SECCION: 001 D
SEMESTRE: II
RESEÑA HISTORICA DE LA TEORIA DE LAS PROBEBILIDADES
La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo, saber cuántos dados hay que lanzar para que la probabilidad de que salga algún seis supere el 50%.
La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá siempre.
El cálculo matemático de probabilidades se basa en situaciones teóricas en las cuales puede configurarse un espacio muestral cuyos sucesos elementales tengan todos la misma probabilidad. Por ejemplo, al lanzar un dado ideal, la probabilidad de cada una de las caras es 1/6. Al lanzar dos dados, la probabilidad de cada uno de los resultados es 1/36.
En estos casos, la probabilidad de un suceso cualquiera S, se calcula mediante la regla de Laplace:
P [S] = número de sucesos elementales de S / número total de sucesos elementales
La expresión anterior se suele expresar del siguiente modo:
P [S] = número de casos favorables a S / número de casos posibles
AXIOMA DE LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD
Son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos
Axiomas de Kolmogórov
Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha definida una σ-álgebra (léase sigma-álgebra) σ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna valores reales a los miembros de σ, a los que denominamos "sucesos", diremos que P es una probabilidad sobre (Ω,σ) si se cumplen los siguientes tres axiomas.
*Primer axioma
La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual que 0.
La probabilidad de un suceso es un número positivo o nulo.
*Segundo axioma
La probabilidad del total, Ω, es igual a 1.
Ω representa todas las posibles alternativas y se denomina suceso seguro.
*Tercer axioma
Si A1, A2... son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos), entonces:
. Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.
DEFINICION
La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.
ESPACIO MUESTRAL
Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.
Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale cara, sale sello} ó E = {c, s}.
Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es
E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6}
ó E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es
E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.
Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}
EVENTO O SUCESO
Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:
1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}
2. Obtener un número primo y par B = {2}
3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}
._Eventos mutuamente excluyentes:
Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto
B C =
._Eventos Complementarios
Si A B = y A B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: Ac = B y
Bc = A
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P (A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B.
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.
TEOREMA DE BAYES
, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
Sea {A1,A2,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B)
Donde:
P(Ai) son las probabilidades a priori.
P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.
P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori.
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas
TABLA DE CONTINGENCIA
En estadística las tablas de contingencia se emplean para registrar y analizar la relación entre dos o más variables, habitualmente de naturaleza cualitativa -nominales u ordinales-.
Supóngase que se dispone de dos variables, la primera el sexo (hombre o mujer) y la segunda que recoge si el individuo es zurdo o diestro. Se ha observado esta pareja de variables en una muestra aleatoria de 100 individuos. Se puede emplear una tabla de contingencia para expresar la relación entre estas dos variables, del siguiente modo:
Diestro Zurdo TOTAL
Hombre 43 9 52
Mujer 44 4 48
TOTAL 87 13 100
Las cifras en la columna de la derecha y en la fila inferior reciben el nombre de frecuencias marginales y la cifra situada en la esquina inferior derecha es el gran total.
DIAGARMA DE ARBOL
Un diagrama de árbol es un método gráfico para identificar todas las partes necesarias para alcanzar algún objetivo final. En mejora de la calidad, los diagramas de árbol se utilizan generalmente para identificar todas las tareas necesarias para implantar una solución.
Cómo elaborar un diagrama de Árbol
1. Escribir el objetivo principal en el extremo izquierdo de un papel amplio.
2. Subdividir y separar el objetivo principal en objetivos secundarios.
3. Continuar subdividiendo o separando, identificando y relacionando otros objetivos.
4. Garantizar una relación directa causa-efecto entre un subtítulo y sus divisiones.
5. Confirmar que alcanzando todas las submetas y tareas se logra el objetivo principal
BUENAS PROFE ESTE ES MI RESUMEN SOY DE LA SECCION 001
Las probabilidades son muy útiles, ya que pueden servir para desarrollar estrategias. Por ejemplo, algunos automovilistas parecen mostrar una mayor tendencia a aumentar la velocidad si creen que existe un riesgo pequeño de ser multados; los inversionistas estarán mas interesados en invertirse dinero si las posibilidades de ganar son buenas.
Como frecuencia relativa 1 probabilística: se basa en las frecuencias relativas. La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina observando en que fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el psado. La probabilidad de que un evento suceda se calcula por medio de:
P (E) numero de veces que el evento ocurrió en el pasado
Numero total de observaciones
2 Definición Frecuencial. La definición frecuentista consiste en definir la probabilidad como el límite cuando n tiende a infinito de la proporción o frecuencia relativa del suceso. Sea un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E Sea A cualquier suceso perteneciente a E Si repetimos n veces el experimento en las mismas Condiciones, la frecuencia relativa del suceso A será: Cuando el número n de repeticiones se hace muy grande la frecuencia relativa converge hacia un valor que llamaremos probabilidad del suceso A.
interpretación subjetiva de probabilidad
1 La probabilidad subjetiva de un evento: se la asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validez científica, aunque en la vida diaria es de las más comunes que se utilizan al no apoyarse más que en el sentido común y los conocimientos previos, y no en resultados estadísticos.
2 Concepto subjetivo de probabilidad: la posibilidad (probabilidad) de que suceda un evento, asignado por una persona con base en cualquier información de que disponga.
2.2 probabilidad de eventos Definición 1 La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales en A por lo tanto 0
Para resolver algunos problemas de probabilidades es necesario conocer el numero de elementos que posee cierto conjunto y el conjunto universal, denominado, en probabilidades, espacio maestral, es por ello que se debe saber como determinar el número de elementos de cualquier conjunto La historia no es tan trivial como pueda parecer, con ella podemos aprender mucho. El sentido común, basando su juicio en la experiencia, nos indica que los estudiantes quieren saltarse la necesidad de estudiar. En otras palabras sabemos intuitivamente que la moneda no caerá de canto, que lo hará sobre la cara o sobre la cruz. Más aún, si la moneda es legal, tenemos la certeza moral de que las posibilidades de que salga cara o cruz son las mismas. Pues bien la teoría de la probabilidad se basa en la asunción que hacemos de cuestiones tales como estas: ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda caiga sobre el borde? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cruz? Para poder tratar estas cuestiones desde un punto de vista matemático, es necesario asignar valores numéricos a cada una de las probabilidades involucradas.
buenas tarde profesor luis guerrero de la 001 estuve un breve analisis ejemplos para saber la teoria de conjun es importante conocer el concepto.A ambas cosas la teoria de conjuto es clara toda depen cuantas cartas tienes los oponentes las mejores horas que si supieramos esto no tedriamos problemas y todo de la mejor manera y cartariamos todas las manos de manera optimas pero la realidad es distintas solo es contar las ocasiones odtenemos pormedios de salida inicialllade contar la senales definitiva.probabilidad para intentar definir queprobabilidad reflexionemos sodre alguna situacion usules si llegamos en alguna parte nos detenemos un momento y odsrevamos algo de colores gana una concecuencia de 10 ocociones.la creacion dela probabilidad se atribuye en lo matematico fracense del siglo XVII Blaise pascal y pierre farmat aun que algunos matematico anteriores como Gerolomo Cardomo en el siglo XVI se habia desarrollado laprobabilidad matematica comenzo con intento de respuesta que surgian de juego como saber contar. laprobabilidad es un resultado de propuestas pronumeros entre 0 Y ambo inclucive la probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrira nunca la probabilidad1 que es el resutdo ocurrira siempre
OXIMA son las condicones minimas que deden verificarce sodre un suceso determinacion contitutemente calores de probabilidad de dicho suceso
PRIMER OXIOMA la probabilidad de un suceso de munero real
SEGUNDO OXIOMA la probabilidad total es igual 1 la respuesta la posible altenativa
TERCER OXIMA si A1,A2 son suceso mutuamente excluyente incompatible de dos a dos de intervencion vacia
DAVID RUIZ SECCION: 001 LIC. ADMINSTRACION DE DESASTRE.
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor
Un axioma, en epistemología, es una "verdad evidente" que no requiere demostración, pues se justifica a sí misma, y sobre la cual se construye el resto de conocimientos por medio de la deducción; aunque, no todos los epistemólogos están de acuerdo con esta definición "clásica". El axioma gira siempre sobre sí mismo, mientras los postulados y conclusiones posteriores se deducen de este.
Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos.
La probabilidad P de un suceso E, denotada por P(E), se define con respecto a un "universo" o espacio muestral Ω, conjunto de todos los posibles sucesos elementales, tal que P verifique los Axiomas de Kolmogórov, enunciados por el matemático ruso de este nombre en 1933. En este sentido, el suceso E es, en términos matemáticos, un subconjunto de Ω.
buenos dias profesor aqui esta mi reseña historica sobre la teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor
Un axioma, en epistemología, es una "verdad evidente" que no requiere demostración, pues se justifica a sí misma, y sobre la cual se construye el resto de conocimientos por medio de la deducción; aunque, no todos los epistemólogos están de acuerdo con esta definición "clásica". El axioma gira siempre sobre sí mismo, mientras los postulados y conclusiones posteriores se deducen de este.
Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos.
La probabilidad P de un suceso E, denotada por P(E), se define con respecto a un "universo" o espacio muestral Ω, conjunto de todos los posibles sucesos elementales, tal que P verifique los Axiomas de Kolmogórov, enunciados por el matemático ruso de este nombre en 1933. En este sentido, el suceso E es, en términos matemáticos, un subconjunto de Ω.
Buen dia profe.muchos saludos Aqui le envio un resumen de la informacion que publico en la coctelera
Reseña histórica:
La teoría de Probabilidades comienza a partir de una disputa entre jugadores en 1654.
Los dos matemáticos que participaron de tales discusiones fueron Blaise Pascal y Pierrede Fermat, y su intercambio de correspondencia sentó las bases de la teoría de Probabilidades.
Un matemático holandés, Christian Huygens tomó contacto con esa
Correspondencia y escribió el primer libro sobre Probabilidades en 1657, el cuál trataba
Fundamentalmente sobre problemas relacionados con los juegos de azar.
Durante el siglo XVIII la teoría se desarrolló y se enriqueció con los aportes de Jacob
Bernoulli y Abraham de Moivre. En 1812 Pierre de Laplace introdujo una serie de nuevas ideas y técnicas matemáticas en su libro Theorie Analytique des Probabilités y
fundamentalmente sacó a la teoría del marco exclusivo de los juegos de azar y aplicó las ideas a muchos problemas científicos y prácticos. Algunas de las importantes aplicaciones desarrolladas en el siglo XIX fueron: teoría de errores, matemática actuarial y mecánica estadística.
Una de las dificultades para el desarrollo de la teoría matemática de las probabilidades
Fue llegar a una definición de probabilidad matemáticamente rigurosa, pero al mismo
Tiempo amplio para permitir su aplicación a un amplio rango de fenómenos. En el siglo XX se llegó a una definición axiomática de las Probabilidades (Kolmogorov, 1933).
Teoría de Conjuntos.
La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.
Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:
1. Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
2. Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
3. Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.
Axiomática de la Probabilidad
La definición axiomática de la probabilidad es quizás la más simple de todas las definiciones y la menos controvertida ya que está basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para dar una definición de probabilidad. La ventaja de esta definición es que permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad. Fue introducida por A. N. Kolmogorov y aceptada por estadísticos y matemáticos en general
Conceptos de Probabilidades
Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas.
Evento:
Evento se le llama evento a todo subconjunto de un espacio maestral por ejemplo E=(1, 2, 3, 4, 5, 6,) del lanzamiento de un dado los siguiente son evento obtener el numero primo A=(2,3,5)
TIPOS DE EVENTOS:
Exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.
-No exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son no exhaustivos si no agotan todos los posibles resultados.
Mutuamente exclusivos.- Eventos que no pueden ocurrir en forma simultánea.
No mutuamente exclusivos.- Eventos que pueden ocurrir en forma simultánea.
independientes.- eventos cuya probabilidad no es afectada porque ocurran o no ocurran entre ellos.
Dependientes.- Eventos cuya probabilidad cambia dependiendo de que ocurran o no ocurran entre sí.
Espacio maestral: es el conjunto universo de todos los resultados posibles de un experimento dado. Cada uno de sus elementos se denomina punto maestral o muestra.
Ejemplos
1 ) Si el experimento se basa en la elección de un dígito, entonces el espacio muestral es:
2 ) Lanzamiento de monedas:
a ) Si el experimento se basa en el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral tiene dos elementos, cara ( c ) y sello ( s ):
Eventos mutuamente excluyentes: Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos,
Ejemplo: Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.
Eventos no excluyentes: si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).
Ejemplo: Si consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un seis, estos eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.
Probabilidad condicionada: es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B.
Teorema de Bayes:
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de ésto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.
Como observación, se tiene \sum_{i=1}^{n}P(A_i |B)=1 y su demostración resulta trivial.
Independencia estadística
Se dice que dos variables X e Y son independientes estadísticamente cuando la frecuencia relativa conjunta es igual al producto de las frecuencias relativas marginales en todos los casos, es decir:
Para todo i, j
Si esto no se cumple para todos los valores se dice que hay dependencia estadística.
buenas tarde profe soy la alumna melayda jimenez esta es la informacion de la coctelera.
Buen dia profe.muchos saludos
Reseña histórica:
La teoría de Probabilidades comienza a partir de una disputa entre jugadores en 1654.
Los dos matemáticos que participaron de tales discusiones fueron Blaise Pascal y Pierrede Fermat, y su intercambio de correspondencia sentó las bases de la teoría de Probabilidades.
Un matemático holandés, Christian Huygens tomó contacto con esa
Correspondencia y escribió el primer libro sobre Probabilidades en 1657, el cuál trataba
Fundamentalmente sobre problemas relacionados con los juegos de azar.
Durante el siglo XVIII la teoría se desarrolló y se enriqueció con los aportes de Jacob
Bernoulli y Abraham de Moivre. En 1812 Pierre de Laplace introdujo una serie de nuevas ideas y técnicas matemáticas en su libro Theorie Analytique des Probabilités y
fundamentalmente sacó a la teoría del marco exclusivo de los juegos de azar y aplicó las ideas a muchos problemas científicos y prácticos. Algunas de las importantes aplicaciones desarrolladas en el siglo XIX fueron: teoría de errores, matemática actuarial y mecánica estadística.
Una de las dificultades para el desarrollo de la teoría matemática de las probabilidades
Fue llegar a una definición de probabilidad matemáticamente rigurosa, pero al mismo
Tiempo amplio para permitir su aplicación a un amplio rango de fenómenos. En el siglo XX se llegó a una definición axiomática de las Probabilidades (Kolmogorov, 1933).
Teoría de Conjuntos.
La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.
Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:
1. Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
2. Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
3. Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.
Axiomática de la Probabilidad
La definición axiomática de la probabilidad es quizás la más simple de todas las definiciones y la menos controvertida ya que está basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para dar una definición de probabilidad. La ventaja de esta definición es que permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad. Fue introducida por A. N. Kolmogorov y aceptada por estadísticos y matemáticos en general
Conceptos de Probabilidades
Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas.
Evento:
Evento se le llama evento a todo subconjunto de un espacio maestral por ejemplo E=(1, 2, 3, 4, 5, 6,) del lanzamiento de un dado los siguiente son evento obtener el numero primo A=(2,3,5)
TIPOS DE EVENTOS:
Exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.
-No exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son no exhaustivos si no agotan todos los posibles resultados.
Mutuamente exclusivos.- Eventos que no pueden ocurrir en forma simultánea.
No mutuamente exclusivos.- Eventos que pueden ocurrir en forma simultánea.
independientes.- eventos cuya probabilidad no es afectada porque ocurran o no ocurran entre ellos.
Dependientes.- Eventos cuya probabilidad cambia dependiendo de que ocurran o no ocurran entre sí.
Espacio maestral: es el conjunto universo de todos los resultados posibles de un experimento dado. Cada uno de sus elementos se denomina punto maestral o muestra.
Ejemplos
1 ) Si el experimento se basa en la elección de un dígito, entonces el espacio muestral es:
2 ) Lanzamiento de monedas:
a ) Si el experimento se basa en el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral tiene dos elementos, cara ( c ) y sello ( s ):
Eventos mutuamente excluyentes: Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos,
Ejemplo: Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.
Eventos no excluyentes: si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).
Ejemplo: Si consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un seis, estos eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.
Probabilidad condicionada: es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B.
Teorema de Bayes:
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de ésto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.
Como observación, se tiene \sum_{i=1}^{n}P(A_i |B)=1 y su demostración resulta trivial.
Independencia estadística
Se dice que dos variables X e Y son independientes estadísticamente cuando la frecuencia relativa conjunta es igual al producto de las frecuencias relativas marginales en todos los casos, es decir:
Para todo i, j
Si esto no se cumple para todos los valores se dice que hay dependencia estadística.
Epale lprofe lino como esta todo....
Reseña histórica:
La teoría de Probabilidades comienza a partir de una disputa entre jugadores en 1654.
Los dos matemáticos que participaron de tales discusiones fueron Blaise Pascal y Pierrede Fermat, y su intercambio de correspondencia sentó las bases de la teoría de Probabilidades.
Un matemático holandés, Christian Huygens tomó contacto con esa
Correspondencia y escribió el primer libro sobre Probabilidades en 1657, el cuál trataba
Fundamentalmente sobre problemas relacionados con los juegos de azar.
Durante el siglo XVIII la teoría se desarrolló y se enriqueció con los aportes de Jacob
Bernoulli y Abraham de Moivre. En 1812 Pierre de Laplace introdujo una serie de nuevas ideas y técnicas matemáticas en su libro Theorie Analytique des Probabilités y
fundamentalmente sacó a la teoría del marco exclusivo de los juegos de azar y aplicó las ideas a muchos problemas científicos y prácticos. Algunas de las importantes aplicaciones desarrolladas en el siglo XIX fueron: teoría de errores, matemática actuarial y mecánica estadística.
Una de las dificultades para el desarrollo de la teoría matemática de las probabilidades
Fue llegar a una definición de probabilidad matemáticamente rigurosa, pero al mismo
Tiempo amplio para permitir su aplicación a un amplio rango de fenómenos. En el siglo XX se llegó a una definición axiomática de las Probabilidades (Kolmogorov, 1933).
Teoría de Conjuntos.
La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.
Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:
1. Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
2. Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
3. Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.
Axiomática de la Probabilidad
La definición axiomática de la probabilidad es quizás la más simple de todas las definiciones y la menos controvertida ya que está basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para dar una definición de probabilidad. La ventaja de esta definición es que permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad. Fue introducida por A. N. Kolmogorov y aceptada por estadísticos y matemáticos en general
Conceptos de Probabilidades
Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas.
Evento:
Evento se le llama evento a todo subconjunto de un espacio maestral por ejemplo E=(1, 2, 3, 4, 5, 6,) del lanzamiento de un dado los siguiente son evento obtener el numero primo A=(2,3,5)
TIPOS DE EVENTOS:
Exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.
-No exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son no exhaustivos si no agotan todos los posibles resultados.
Mutuamente exclusivos.- Eventos que no pueden ocurrir en forma simultánea.
No mutuamente exclusivos.- Eventos que pueden ocurrir en forma simultánea.
independientes.- eventos cuya probabilidad no es afectada porque ocurran o no ocurran entre ellos.
Dependientes.- Eventos cuya probabilidad cambia dependiendo de que ocurran o no ocurran entre sí.
Espacio maestral: es el conjunto universo de todos los resultados posibles de un experimento dado. Cada uno de sus elementos se denomina punto maestral o muestra.
Ejemplos
1 ) Si el experimento se basa en la elección de un dígito, entonces el espacio muestral es:
2 ) Lanzamiento de monedas:
a ) Si el experimento se basa en el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral tiene dos elementos, cara ( c ) y sello ( s ):
Eventos mutuamente excluyentes: Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos,
Ejemplo: Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.
Eventos no excluyentes: si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).
Ejemplo: Si consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un seis, estos eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.
Probabilidad condicionada: es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B.
Teorema de Bayes:
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de ésto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.
Como observación, se tiene \sum_{i=1}^{n}P(A_i |B)=1 y su demostración resulta trivial.
Independencia estadística
Se dice que dos variables X e Y son independientes estadísticamente cuando la frecuencia relativa conjunta es igual al producto de las frecuencias relativas marginales en todos los casos, es decir:
Para todo i, j
Si esto no se cumple para todos los valores se dice que hay dependencia estadística.
Hola profe esta es mi Iformacion:
Buen dia profe.muchos saludos
Reseña histórica:
La teoría de Probabilidades comienza a partir de una disputa entre jugadores en 1654.
Los dos matemáticos que participaron de tales discusiones fueron Blaise Pascal y Pierrede Fermat, y su intercambio de correspondencia sentó las bases de la teoría de Probabilidades.
Un matemático holandés, Christian Huygens tomó contacto con esa
Correspondencia y escribió el primer libro sobre Probabilidades en 1657, el cuál trataba
Fundamentalmente sobre problemas relacionados con los juegos de azar.
Durante el siglo XVIII la teoría se desarrolló y se enriqueció con los aportes de Jacob
Bernoulli y Abraham de Moivre. En 1812 Pierre de Laplace introdujo una serie de nuevas ideas y técnicas matemáticas en su libro Theorie Analytique des Probabilités y
fundamentalmente sacó a la teoría del marco exclusivo de los juegos de azar y aplicó las ideas a muchos problemas científicos y prácticos. Algunas de las importantes aplicaciones desarrolladas en el siglo XIX fueron: teoría de errores, matemática actuarial y mecánica estadística.
Una de las dificultades para el desarrollo de la teoría matemática de las probabilidades
Fue llegar a una definición de probabilidad matemáticamente rigurosa, pero al mismo
Tiempo amplio para permitir su aplicación a un amplio rango de fenómenos. En el siglo XX se llegó a una definición axiomática de las Probabilidades (Kolmogorov, 1933).
Teoría de Conjuntos.
La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.
Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:
1. Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
2. Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
3. Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.
Axiomática de la Probabilidad
La definición axiomática de la probabilidad es quizás la más simple de todas las definiciones y la menos controvertida ya que está basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para dar una definición de probabilidad. La ventaja de esta definición es que permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad. Fue introducida por A. N. Kolmogorov y aceptada por estadísticos y matemáticos en general
Conceptos de Probabilidades
Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas.
Evento:
Evento se le llama evento a todo subconjunto de un espacio maestral por ejemplo E=(1, 2, 3, 4, 5, 6,) del lanzamiento de un dado los siguiente son evento obtener el numero primo A=(2,3,5)
TIPOS DE EVENTOS:
Exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.
-No exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son no exhaustivos si no agotan todos los posibles resultados.
Mutuamente exclusivos.- Eventos que no pueden ocurrir en forma simultánea.
No mutuamente exclusivos.- Eventos que pueden ocurrir en forma simultánea.
independientes.- eventos cuya probabilidad no es afectada porque ocurran o no ocurran entre ellos.
Dependientes.- Eventos cuya probabilidad cambia dependiendo de que ocurran o no ocurran entre sí.
Espacio maestral: es el conjunto universo de todos los resultados posibles de un experimento dado. Cada uno de sus elementos se denomina punto maestral o muestra.
Ejemplos
1 ) Si el experimento se basa en la elección de un dígito, entonces el espacio muestral es:
2 ) Lanzamiento de monedas:
a ) Si el experimento se basa en el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral tiene dos elementos, cara ( c ) y sello ( s ):
Eventos mutuamente excluyentes: Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos,
Ejemplo: Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.
Eventos no excluyentes: si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).
Ejemplo: Si consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un seis, estos eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.
Probabilidad condicionada: es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B.
Teorema de Bayes:
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de ésto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.
Como observación, se tiene \sum_{i=1}^{n}P(A_i |B)=1 y su demostración resulta trivial.
Independencia estadística
Se dice que dos variables X e Y son independientes estadísticamente cuando la frecuencia relativa conjunta es igual al producto de las frecuencias relativas marginales en todos los casos, es decir:
Para todo i, j
Si esto no se cumple para todos los valores se dice que hay dependencia estadística.
HOLA PROFESOR. buenas tardes gracias por la informacion ya estoy al tanto de la investigaciom.. saludos
HOLA PROFE MUY BUENO SU MATERIAL YA ESTOY EN LA INVESTIGACION, OSEA VOY SUIGUIENDOLES LOS PASOS COMO USTED DICE. QUE TENGA FELIZ NOCHE.
buenos dias le mandamos muchos saludos esperando que se encuentre bien. aqui rebisando la coctelera, chao nos vemos en su clase...........
buen dia profe hice la lectura sobre la reseña historica de las probabilidades y hare un analisis en un borrador y lo colocare en mi portafolio gracias por la informacion
BUENAS TARDES PROFESOR...
POR ACA REGRESANDO DEL PLAN REPUBLICA... REVISANDO SU PAGINA....
buenos dias profesor estuve revisando la actividad de probalidades me pareció interesantes y extensos pero no puede resolverlo!!! gracias por la informacion
Buenos días profesor lino ya ingresé a la reseña de probalidades esta interesante una informacion completa gracias!! saludos espero este muy bien
aqui estamos le hicimos caso de una nos venimos al internet:
Reseña histórica:
La teoría de Probabilidades comienza a partir de una disputa entre jugadores en 1654.
Los dos matemáticos que participaron de tales discusiones fueron Blaise Pascal y Pierrede Fermat, y su intercambio de correspondencia sentó las bases de la teoría de Probabilidades.
Un matemático holandés, Christian Huygens tomó contacto con esa
Correspondencia y escribió el primer libro sobre Probabilidades en 1657, el cuál trataba
Fundamentalmente sobre problemas relacionados con los juegos de azar.
Durante el siglo XVIII la teoría se desarrolló y se enriqueció con los aportes de Jacob
Bernoulli y Abraham de Moivre. En 1812 Pierre de Laplace introdujo una serie de nuevas ideas y técnicas matemáticas en su libro Theorie Analytique des Probabilités y
fundamentalmente sacó a la teoría del marco exclusivo de los juegos de azar y aplicó las ideas a muchos problemas científicos y prácticos. Algunas de las importantes aplicaciones desarrolladas en el siglo XIX fueron: teoría de errores, matemática actuarial y mecánica estadística.
Una de las dificultades para el desarrollo de la teoría matemática de las probabilidades
Fue llegar a una definición de probabilidad matemáticamente rigurosa, pero al mismo
Tiempo amplio para permitir su aplicación a un amplio rango de fenómenos. En el siglo XX se llegó a una definición axiomática de las Probabilidades (Kolmogorov, 1933).
Buenos dias profesor ya esta es mi investigacion de la teoria de las probabilidades espero que le guste y disculpe la tardansa...
Soy FRANKLIN MENDOZA DE LA OO3-D DESASTRE
Receña historica
El estudio científico de la probabilidad es un desarrollo moderno. Los juegos de azar muestran que ha habido un interés en cuantificar las ideas de la probabilidad durante milenios, pero las descripciones matemáticas exactas de utilidad en estos problemas sólo surgieron mucho después.
Según Richard Jeffrey, "Antes de la mitad del siglo XVII, el término 'probable' (en latín probable) significaba aprobable, y se aplicaba en ese sentido, unívocamente, a la opinión y a la acción. Una acción u opinión probable era una que las personas sensatas emprenderían o mantendrían, en las circunstancias."1
Aparte de algunas consideraciones elementales hechas por Girolamo Cardano en el siglo XVI, la doctrina de las probabilidades data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) le dio el tratamiento científico conocido más temprano al concepto. Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre trataron el tema como una rama de las matemáticas. Véase El surgimiento de la probabilidad (The Emergence of Probability) de Ian Hacking para una historia de los inicios del desarrollo del propio concepto de probabilidad matemática.
Teoría de la probabilidad
Teoría de la probabilidad: Es la teoría matemática que modela los fenómenos aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, en los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un resultado único o previsible: por ejemplo, el agua calentada a 100 grados Celsius, a nivel del mar, se transforma en vapor. Un fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como resultados posibles un conjunto de alternativas, como el lanzamiento de un dado o de una moneda.
Los procesos reales que se modelizan como procesos aleatorios pueden no serlo realmente; cómo tirar una moneda o un dado no son procesos aleacion en sentido estricto, ya que no se reproducen exactamente las mismas condiciones iniciales que lo determinan, sino sólo unas pocas. En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí.
Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la probabilidad, la cual obedece a la regla de cálculo de casos favorables sobre casos posibles, permitió la rigorización de muchos argumentos ya utilizados, así como el estudio de problemas fuera de los marcos clásicos. Actualmente, la teoría de la probabilidad encuentra aplicación en las más variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o las finanzas (donde destaca el modelo de Black y Scholes para la valuación de acciones).
Definición clásica de probabilidad
La probabilidad es la característica de un evento, que existen razones pa' creer que st' c' realizará. Los eventos tienden a ser una frecuencia relativa del número de veces que se realiza el experimento.
La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.
La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice q' su probabilidad es 0 y el evento es cierto cuando siempre tiene que ocurrir y su probabilidad es 1. La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada xq'dond':
Simbólicamente el espacio de resultados, q' normal/ c'denota por Ω, es el espacio q' consiste en todos los resultados q' son posibles. Los resultados, q' se denota por ω1,ω2, etcétera, son elementos del espacio Ω.
Definición según la frecuencia relativa y definición axiomática
Según Spiegel (1) la definición clásica de la probabilidad se define con base a sí misma (igualmente factible es sinónimo de igualmente probable) se define la probabilidad estimada o empírica basada en la frecuencia relativa de aparición de un suceso S cuando Ω es muy grande. La probabilidad de un suceso es una medida que se escribe como
,
y mide con qué frecuencia ocurre algún suceso si se hace algún experimento indefinidamente.
La definición anterior es complicada de representar matemáticamente ya que Ω debiera ser infinito. Otra manera de definir la probabilidad es de forma axiomática esto estableciendo las relaciones o propiedades que existen entre los conceptos y operaciones que la componen.
Probabilidad discreta
Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés.
Estos Valores pueden ser de varios tipos ya sean Finitos o Infinitos, Numerables o innumerables
EJEMPLO 1: sea X el número de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda. Aquí los valores de X son x = 0, 1, 2, 3
Como se muestra en el ejemplo 1 estos valores son Numerables, y Finitos, ya que se nos da un número de específico de casos y solo nos pueden dar un número específico de resultados.
Probabilidad continúa
Una variable aleatoria es una función
Que da un valor numérico a cada suceso en Ω.
Función de densidad
La función de densidad, o densidad de probabilidad de una variable aleatoria, es una función a partir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma la variable. Su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribución de probabilidad. En el caso de variables aleatorias discretas la distribución de probabilidad se obtiene a través del sumatorio de la función de densidad.
Probabilidad condicional
Se llama probabilidad condicional o probabilidad condicionada a la probabilidad de que un suceso se cumpla habiéndose cumplido ya otro. Se nota "probabilidad de A sabiendo que B se ha cumplido" de la siguiente manera:
Axioma de la teoria de las probabilidades
La definición axiomática de la probabilidad es quizás la más simple de todas las definiciones y la menos controvertida ya que está basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para dar una definición de probabilidad.
La ventaja de esta definición es que permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad. Fue introducida por A. N. Kolmogorov y aceptada por estadísticos y matemáticos en general.
Buenos dias profesor ya esta es mi investigacion de la teoria de las probabilidades espero que le guste y disculpe la tardansa...
Soy FRANKLIN MENDOZA DE LA OO3-D DESASTRE
Receña historica
El estudio científico de la probabilidad es un desarrollo moderno. Los juegos de azar muestran que ha habido un interés en cuantificar las ideas de la probabilidad durante milenios, pero las descripciones matemáticas exactas de utilidad en estos problemas sólo surgieron mucho después.
Según Richard Jeffrey, "Antes de la mitad del siglo XVII, el término 'probable' (en latín probable) significaba aprobable, y se aplicaba en ese sentido, unívocamente, a la opinión y a la acción. Una acción u opinión probable era una que las personas sensatas emprenderían o mantendrían, en las circunstancias."1
Aparte de algunas consideraciones elementales hechas por Girolamo Cardano en el siglo XVI, la doctrina de las probabilidades data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) le dio el tratamiento científico conocido más temprano al concepto. Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre trataron el tema como una rama de las matemáticas. Véase El surgimiento de la probabilidad (The Emergence of Probability) de Ian Hacking para una historia de los inicios del desarrollo del propio concepto de probabilidad matemática.
Teoría de la probabilidad
Teoría de la probabilidad: Es la teoría matemática que modela los fenómenos aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, en los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un resultado único o previsible: por ejemplo, el agua calentada a 100 grados Celsius, a nivel del mar, se transforma en vapor. Un fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como resultados posibles un conjunto de alternativas, como el lanzamiento de un dado o de una moneda.
Los procesos reales que se modelizan como procesos aleatorios pueden no serlo realmente; cómo tirar una moneda o un dado no son procesos aleacion en sentido estricto, ya que no se reproducen exactamente las mismas condiciones iniciales que lo determinan, sino sólo unas pocas. En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí.
Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la probabilidad, la cual obedece a la regla de cálculo de casos favorables sobre casos posibles, permitió la rigorización de muchos argumentos ya utilizados, así como el estudio de problemas fuera de los marcos clásicos. Actualmente, la teoría de la probabilidad encuentra aplicación en las más variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o las finanzas (donde destaca el modelo de Black y Scholes para la valuación de acciones).
Definición clásica de probabilidad
La probabilidad es la característica de un evento, que existen razones pa' creer que st' c' realizará. Los eventos tienden a ser una frecuencia relativa del número de veces que se realiza el experimento.
La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.
La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice q' su probabilidad es 0 y el evento es cierto cuando siempre tiene que ocurrir y su probabilidad es 1. La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada xq'dond':
Simbólicamente el espacio de resultados, q' normal/ c'denota por Ω, es el espacio q' consiste en todos los resultados q' son posibles. Los resultados, q' se denota por ω1,ω2, etcétera, son elementos del espacio Ω.
Definición según la frecuencia relativa y definición axiomática
Según Spiegel (1) la definición clásica de la probabilidad se define con base a sí misma (igualmente factible es sinónimo de igualmente probable) se define la probabilidad estimada o empírica basada en la frecuencia relativa de aparición de un suceso S cuando Ω es muy grande. La probabilidad de un suceso es una medida que se escribe como
,
y mide con qué frecuencia ocurre algún suceso si se hace algún experimento indefinidamente.
La definición anterior es complicada de representar matemáticamente ya que Ω debiera ser infinito. Otra manera de definir la probabilidad es de forma axiomática esto estableciendo las relaciones o propiedades que existen entre los conceptos y operaciones que la componen.
Probabilidad discreta
Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés.
Estos Valores pueden ser de varios tipos ya sean Finitos o Infinitos, Numerables o innumerables
EJEMPLO 1: sea X el número de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda. Aquí los valores de X son x = 0, 1, 2, 3
Como se muestra en el ejemplo 1 estos valores son Numerables, y Finitos, ya que se nos da un número de específico de casos y solo nos pueden dar un número específico de resultados.
Probabilidad continúa
Una variable aleatoria es una función
Que da un valor numérico a cada suceso en Ω.
Función de densidad
La función de densidad, o densidad de probabilidad de una variable aleatoria, es una función a partir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma la variable. Su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribución de probabilidad. En el caso de variables aleatorias discretas la distribución de probabilidad se obtiene a través del sumatorio de la función de densidad.
Probabilidad condicional
Se llama probabilidad condicional o probabilidad condicionada a la probabilidad de que un suceso se cumpla habiéndose cumplido ya otro. Se nota "probabilidad de A sabiendo que B se ha cumplido" de la siguiente manera:
Axioma de la teoria de las probabilidades
La definición axiomática de la probabilidad es quizás la más simple de todas las definiciones y la menos controvertida ya que está basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para dar una definición de probabilidad.
La ventaja de esta definición es que permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad. Fue introducida por A. N. Kolmogorov y aceptada por estadísticos y matemáticos en general.
La palabra probabilidad no tiene una definición consistente. De hecho hay dos amplias categorías de interpretaciones de la probabilidad: los frecuentistas hablan de probabilidades sólo cuando se trata de experimentos aleatorios bien definidos. La frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento, cuando se repite el experimento, es una medida de la probabilidad de ese suceso aleatorio. Los bayesianos, no obstante, asignan las probabilidades a cualquier declaración, incluso cuando no implica un proceso aleatorio, como una manera de representar su verosimilitud subjetiva. La probabilidad constituye un importante parametro en la determinación de las diversas causalidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.
Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.
Experimento aleatorio Es el experimento que se caracteriza porque su desarrollo no es previsible con certidumbre.
Espacio muestral Asociado a un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados que se pueden obtener al realizar el experimento. Lo designamos con la letra E y colocamos sus elementos entre llaves y separados por comas.
Suceso De un experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E. Los designamos por letras mayúsculas: A,B,C,..., ponemos sus elementos entre llaves y separados por comas.
La teoría de conjuntos es de mucha utilidad en el desarrollo de las probabilidades, y es por ello que se debe revisar los conocimientos sobre las operaciones de conjuntos como lo son: la unión, la intersección, el complemento de un conjunto, etc.
la regla principal en las Técnicas de Conteo es la ley de multiplicación: Si se tienen n elementos de un tipo y m de otro, el número de parejas que se pueden formar tomando un elemento de cada tipo es mxn. Las permutaciones, las variaciones y las combinaciones, resultan de la regla de multiplicación
Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos.
Eventos mutuamente excluyentes: la ocurrencia de cualquier evento implica que ningún otro puede ocurrir al mismo tiempo.
En el anterior, los cuatro resultados posibles son mutuamente excluyentes.
Colectivamente exhaustivos: por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un experimento.
En el EJEMPLO, los cuatro resultados posibles son colectivamente exhaustivos.
En otras palabras,
la suma de las probabilidades es = 1 (.25 + .25 + .25 + .25).
Probabilidad subjetiva: la posibilidad (probabilidad) de que suceda un evento específico que asigna una persona con base en cualquier información disponible.
Ejemplos de la probabilidad subjetiva son estimar la probabilidad de que los Salgado de Salta ganen la Lotería el próximo año y estimar la probabilidad de que ocurra un terremoto en Los Angeles este año.
Probabilidad conjunta es una probabilidad que mide la posibilidad de que dos o más eventos ocurran juntos.
Un ejemplo sería el hecho de que un estudiante tenga tanto un estéreo como una TV en su habitación.
Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que ocurrió otro evento.
Nota: la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurrió B se denota como
P(A|B).
El diagrama de árbol es muy útil para visualizar las probabilidades condicional y conjunta y en particular para el análisis de decisiones administrativas que involucran varias etapas.
El teorema de Bayes se representa con la fórmula:
Principios de conteo
Fórmula de la multiplicación: si hay m modos de hacer una cosa y n formas de hacer otra, existen m x n formas de hacer ambas.
EJEMPLO: el Doctor Périssé tiene 10 camisas y 8 corbatas.
¿Cuántos conjuntos de camisas /corbatas tiene?
(10)(8) = 80.
Permutación: un arreglo de r objetos seleccionados a partir de un grupo único de n objetos posibles.
Nota: el orden del arreglo es importante en las permutaciones.
Combinación: el número de modos para elegir r objetos de un grupo de n objetos sin considerar el orden.
Ejemplo
El entrenador Alexis tiene que elegir 5 jugadores entre los doce del equipo para incluirlos en alineación.
¿Cuántos grupos diferentes se pueden formar?
12C5 = (12!)/[5!(12-5)!] =792
Suponga que el entrenador Alexis debe clasificarlos en orden:
12P5 = (12!)/(12-5)! = 95,040.
Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento pues bien esta misnma teoria se basa en la asunción que hacemos de cuestiones tales como estas : ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda caiga sobre el borde? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cruz?
Para poder tratar estas cuestiones desde un punto de vista matemático, es necesario asignar valores numéricos a cada una de la probabilidades involucradas.
Una de las dificultades para el desarrollo de la teoría matemática de las probabilidades
Fue llegar a una definición de probabilidad matemáticamente rigurosa, exactamente como esta.
Idania Higuera dijo
Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento pues bien esta misnma teoria se basa en la asunción que hacemos de cuestiones tales como estas : ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda caiga sobre el borde? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cruz?
Para poder tratar estas cuestiones desde un punto de vista matemático, es necesario asignar valores numéricos a cada una de la probabilidades involucradas.
Una de las dificultades para el desarrollo de la teoría matemática de las probabilidades
Fue llegar a una definición de probabilidad matemáticamente rigurosa, exactamente como esta.
seccion: 001
Admini8stracion de desastre
Buenas Dias Profesor mi nombre es Romero Angela de la seccion I-001 de ad de desatre disculpe por entregarle la tarea tarde este es mi analisis.
RESEÑA HISTORICA DE LA PROBABILIDAD:
La probabilidad matemática tiene sus orígenes en los juegos de azar, principalmente los juegos con dados y cartas,
muy populares desde tiempos antiguos. Los primeros estudios “científicos” sobre fenómenos aleatorios se centraban
en dos problemas:
1. Contabilizar el número de posibles resultados de lanzar un dado varias veces.
2. Distribuir las ganancias entre jugadores cuando el juego se interrumpía antes de finalizar, conocido como el
‘problema del reparto de apuestas’.
Una respuesta al primer problema se puede encontrar en el poema De Vetula, de Richard de Fournival (1200–
1250), donde afirma correctamente que si se lanzan tres dados hay 216 combinaciones posibles y calcula correctamente
los diferentes valores para la suma de los tres dados. Aunque ahora puede parecer una cuestión trivial, en aquella época
no lo era, y otros autores erraron al intentar resolverla, generalmente porque no tenían en cuenta las posibles permutaciones
de una misma combinación.
El segundo problema fue abordado por Luca Pacioli (1445–1517), quien en 1487 propuso estos dos similares
problemas particulares: un juego en el que el premio es de 22 ducados que consiste en alcanzar 60 puntos se interrumpe
cuando un equipo lleva 50 puntos y el otro 30; y tres arqueros que compiten por un premio de 6 ducados lanzan flechas
hasta que uno de ellos haga 6 dianas, siendo interrumpidos cuando el primero de ellos lleva 4 dianas, el segundo 3 y el
tercero 2. ¿Cómo deben repartirse los premios entre los contendientes? Pacioli propuso que el premio debería ser repartido
en función de las victorias obtenidas anteriormente: así, el premio del primer problema se dividía en 60×5/8 ducados
para el primer equipo y en 60×3/8 para el segundo; para el problema de los arqueros, el premio se dividía en la proporción
4/9, 3/9 y 2/9. Como más tarde se pondría de manifiesto, esta solución es incorrecta.
TEOREMAS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Los tres teoremas básicos que hicieron posible el desarrollo de la probabilidad tal y como la conocemos hoy fueron
los teoremas de la suma, de la multiplicación y de la probabilidad total. Aunque ni Fermat ni Pascal no Huygens los
idearon, en sus escritos aparecen ya de una forma implícita y utilizados correctamente.
Teorema de la Suma.- Pascal dio a entender implícitamente que sabía cómo calcular los casos favorables de un
suceso A si conocía los casos favorables de unos Aj disjuntos cuya unión es A (es decir, si los Aj son una partición de
A). Jakob Bernoulli también fue consciente de ello, y fue más allá al darse cuenta de que la probabilidad de la unión no
es la suma de las probabilidades si los sucesos no son disjuntos, aunque no supo dar la razón. Previamente, Cardano había
expresado un resultado similar en términos de casos en vez de probabilidades. No fue ninguno de ellos quien formuló
finalmente el teorema de la suma de la probabilidades, sino el reverendo inglés Thomas Bayes (1702–1761), cuyo
trabajo fue leído póstumamente, en 1763. En esta obra, Bayes da la primera definición explícita de sucesos disjuntos —
él los llamó ‘inconsistentes’— y enunció la fórmula ahora conocida:
P{A∪ B}= P{A}+ P{B}− P{A∩ B}
Teorema de la Multiplicación.- Del mismo modo, el teorema de la multiplicación de probabilidades era conocido
por casi todos los estudiosos a través de cálculos particulares. Sin embargo, fue Abraham De Moivre (1667–1754) el
primero que los enunció con autoridad. En la introducción a su obra Doctrina de las Posibilidades de 1711, De Moivre
presentó el importante concepto de independencia de sucesos aleatorios; así, escribió:
«Diremos que dos sucesos son
independientes, si uno de ellos no tiene ninguna relación con el otro» y procedió a definir los sucesos dependientes:
«Dos sucesos son dependientes si están ligados el uno al otro y la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos influye en
la probabilidad de ocurrencia del otro». Una vez hecho esto, De Moivre lo aplicó al cálculo de probabilidades:
«la probabilidad
de ocurrencia de dos sucesos dependientes es igual a la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos dividida
por la probabilidad de que el otro ocurra si el primero ya ha ocurrido. Esta regla puede generalizarse para varios sucesos
».
El caso de varios sucesos lo describía así: «Se necesita elegir uno de ellos como el primero, otro como el segundo,
y así. Luego, la ocurrencia del primero debe considerarse independiente de todas las demás; el segundo debe considerarse
con la condición de que el primero ha ocurrido: el tercero con la condición de que tanto el primero como el segundo
han ocurrido, y así. De aquí, la probabilidad de las ocurrencias de todos los sucesos es igual al producto de todas las
probabilidades». O en notación moderna:
P{A1 ∩ A2KAn}= P{A1}⋅ P{A2 | A1}⋅ P{A3 | A1 ∩ A2}K⋅ P{An | A1 ∩KAn−1}
De Moivre acompañó sus afirmaciones con ejemplos resueltos.
LOS TEOREMAS DEL LÍMITE
La Ley de los Grandes Números.- Jakob Bernoulli era consciente de que las frecuencias observadas se acercaban
a un cálculo previo de su probabilidad al aumentar el número de repeticiones del experimento. Pero él quería encontrar
una prueba científica que no sólo demostrara que al aumentar el número de observaciones se podía estimar la probabilidad
auténtica con cualquier grado de precisión deseado, sino que permitiera calcular explícitamente cuántas observaciones
eran necesarias para garantizar esa precisión de que el resultado queda dentro de un intervalo predeterminado alrededor
de la verdadera solución. El experimento que consiste repetir una prueba con la misma probabilidad de éxito un
número grande de veces recibió el nombre de ‘experimento de Bernoulli’ y, más adelante, con la creación del concepto
de variable aleatoria, la variable que contabiliza el número de éxitos en N pruebas se llamó ‘Bernoulli’ o ‘binomial’.
Consciente de que en las situaciones de la vida real, la certeza absoluta (probabilidad 1) es imposible de alcanzar,
Bernoulli introdujo la idea de la ‘certeza moral’: para que un resultado fuese moralmente cierto, debía tener una
probabilidad no menor que 0.999, mientras que un resultado con probabilidad no mayor que 0.001 se consideraría ‘moralmente
imposible’. Fue para determinar la certeza moral de un suceso para lo que Bernoulli formuló su teorema, la
Ley de los Grandes Números.
Para ilustrar este concepto, Bernoulli propuso el siguiente ejemplo: una urna con 30.000 bolas blancas y 20.000
negras, aunque el observador no lo sabe, pues lo que quiere es determinar la proporción entre bolas blancas y negras,
sacando una de cada vez, anotando el resultado —éxito si es blanca y fracaso si es negra— y reintroduciéndola en la urna.
Sea N el número de observaciones, X el número de éxitos y p = r/(r+s) la probabilidad de éxito en cada prueba,
siendo r el número de bolas blancas y s el de bolas negras. El teorema de Bernoulli afirma, en terminología moderna,
que dada cualquier pequeña fracción ε (que Bernoulli siempre escribía en la forma 1/(r+s)) y dado cualquier número
entero positivo grande c, se puede hallar un número N = N(c) tal que la probabilidad de que X/N difiera de p no más de
—7—
TEOREMA DE BAYES:
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de ésto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.
Como observación, se tiene \sum_{i=1}^{n}P(A_i |B)=1 y su demostración resulta trivial.
PROBABILIDAD CONDICIONAL:
Llamamos probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A , y lo denotamos por \mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right) al cociente
\mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right) \, = \, \frac { \mathrm{P} \left( \, A \, \cap \, B \right) } { \mathrm{P} \left( \, A \, \right) }
EjemplO
Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?
Sean los sucesos
A = "la suma de los puntos es siete" y
B = "en alguno de los dados ha salido un tres"
El suceso B \left| \, A \, \right. es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas \left( \, 3, \, 4 \, \right) y \left( \, 4, \, 3 \, \right) . Por tanto,
\mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right) \, = \, \frac{2}{6} \, = \, \frac{1}{3}
INDEPENDENCIA ESTADISTICA:
Independencia estadística
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En estadística, decimos que hay independencia estadística entre dos sucesos (posibles resultados de un experimento aleatorio), o que ambos sucesos son estadísticamente independientes, cuando la ocurrencia de uno de ellos no influye en la probabilidad de ocurrencia del otro; es decir, cuando ambos sucesos no están correlacionado
buenas tarde profesor soy la alumna de la seccion:I-003D de administracion de desastres
concepto de las probabilidades
Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas.
Evento:
Evento se le llama evento a todo subconjunto de un espacio maestral por ejemplo E=(1, 2, 3, 4, 5, 6,) del lanzamiento de un dado los siguiente son evento obtener el numero primo A=(2,3,5)
TIPOS DE EVENTOS:
Exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.
-No exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son no exhaustivos si no agotan todos los posibles resultados.
Mutuamente exclusivos.- Eventos que no pueden ocurrir en forma simultánea.
No mutuamente exclusivos.- Eventos que pueden ocurrir en forma simultánea.
independientes.- eventos cuya probabilidad no es afectada porque ocurran o no ocurran entre ellos.
Dependientes.- Eventos cuya probabilidad cambia dependiendo de que ocurran o no ocurran entre sí.
Espacio maestral: es el conjunto universo de todos los resultados posibles de un experimento dado. Cada uno de sus elementos se denomina punto maestral o muestra.
Axiomática de la Probabilidad
La definición axiomática de la probabilidad es quizás la más simple de todas las definiciones y la menos controvertida ya que está basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para dar una definición de probabilidad. La ventaja de esta definición es que permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad. Fue introducida por A. N. Kolmogorov y aceptada por estadísticos y matemáticos en general
Teoría de Conjuntos.
La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.
Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:
1. Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
2. Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
3. Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.
Buenos dias profesor soy ninoska morales de la seccion 001d
La teoría de la probabilidad es la teoría matemática que modela los fenómenos aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, en los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un resultado único o previsible: por ejemplo, el agua calentada a 100 grados Celsius, a nivel del mar, se transforma en vapor. Un fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como resultados posibles un conjunto de alternativas, como el lanzamiento de un dado o de una moneda.
Los procesos reales que se modelizan como procesos aleatorios pueden no serlo realmente; cómo tirar una moneda o un dado no son procesos aleacion en sentido estricto, ya que no se reproducen exactamente las mismas condiciones iniciales que lo determinan, sino sólo unas pocas. En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí.
En 1933, el matemático soviético Andréi Kolmogórov propuso un sistema de axiomas para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos y en la teoría de la medida, desarrollada pocos años antes por Lebesgue, Borel y Frechet entre otros.
Teoría de conjuntos
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, árboles, abejas, perros, gatos, plantas, ratones, libros, edificios, moscas, teclados, guitarras, ventanas, pianos, cortinas, páginas, botones, papeles, símbolos, razas, personas, profesores, tasas, cabellos, vasos, hojas, comidas, servilletas, saleros, pimenteros, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor